Երկրաչափություն

18.05.2021 թ.—Պյութագորասի թեորեմը

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 370; 374-ա,գ; 376; 378; 381

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 372; 374-բ; 377; 380; 384-ա

.

11.05.2021 թ.—ՊՅՈՒԹԱԳՈՐԱՍԻ ԹԵՈՐԵՄ

Պյութագորասի թեորեմըՊյութագորաս (մ.թ.ա. 570–490 թ.)՝ հույն մաթեմատիկոս և փիլիսոփա:  

 Պյութագորասի կենսագրության փաստերը հայտնի չեն: Նրա կյանքի մասին կարելի է դատել մյուս հույն փիլիսոփաների ստեղծագործությունների հիման վրա: Նրանց վկայությամբ Պյութագորասը շփվում էր իր ժամանակի ճանաչված մտածողների և գիտնականների հետ: 

Հայտնի է, որ Պյութագորասը երկար ժամանակ անցկացրել է Եգիպտոսում՝ ուսումնասիրելով տեղի ավանդույթներն ու հայտնագործությունները: Մաթեմատիկայում Պյութագորասն ունեցավ մեծ հաջողություններ:

Երկրաչափության ամենահայտնի թեորեմներից է Պյութագորասի թեորեմը, որի հայտնագործությունն ու ապացույցը վերագրվում է Պյութագորասին: 

Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի վրա կառուցված քառակուսու մակերեսը հավասար է նրա էջերի վրա կառուցված քառակուսիների մակերեսների գումարին:  Մաթեմատիկայի պատմության մեջ գոյություն ունեն պնդումներ այն մասին, որ այդ թեորեմը գիտեին դեռևս Պյութագորասից շատ առաջ: Մասնավորապես, եգիպտացիները գիտեին, որ 3, 4 և 5 կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է:   Ներկայումս թեորեմը հնչում է այսպես՝ 

Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է եռանկյան էջերի քառակուսիների գումարին՝ c²=a²+b²

Հայտնի են այս թեորեմի բազմաթիվ ապացույցներ, սակայն ամենաակնառու ապացույցներից մեկը հիմնված է մակերեսների վրա: 

1. Կառուցենք եռանկյան էջերի a+b գումարին հավասար կողմով քառակուսի: Քառակուսու մակերեսը (a+b)_² է: 

2. Եթե տանենք c ներքնաձիգները, ապա կառուցված քառակուսու ներսում կառաջանա ևս քառանկյուն: Քառանկյան բոլոր կողմերը հավասար են c-ի, իսկ անկյունները՝ ուղիղ են: Իրոք, ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը 90° է, հետևաբար քառանկյան անկյունը ևս պիտի լինի 90°, որպեսզի նրանց գումարը հավասար լինի 180° -ի: Այսպիսով, առաջացած քառանկյունը ևս քառակուսի է: Հետևաբար, մեծ քառակուսու մակերեսը բաղկացած է ներսի քառակուսու մակերեսից և չորս հավասար ուղղանկյուն եռանկյունների մակերեսներից: 

3. Մեծ քառակուսու երկու կողմերի վրա տեղերով փոխենք a և b հատվածները, դրանից քառակուսու կողմը չի փոխվի: Հիմա քառակուսու մակերեսը բաղկացած է (a\) և b կողմերով երկու քառակուսիներից և երկու ուղղանկյուններից՝ 

4. Համեմատելով մեծ քառակուսու մակերեսը երկու նկարներում, եզրակացնում ենք, որ՝ 4⋅ab²+c2=a²+2ab+b², որտեղից գալիս ենք պահանջվող հավասարությանը՝ c²=a²+b² 

Օրինակ

Արդյո՞ք 6 սմ, 7 սմ և 9 սմ կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է: Ընտրում ենք մեծ կողմը և ստուգում Պյութագորասի թեորեմի տեղի ունենալը՝ 92=62+72;81≠36+49 

Հետևաբար, եռանկյունը ուղղանկյուն չէ:  

Արդյո՞ք 5 սմ, 12 սմ և 13 սմ կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է: Ընտրում ենք մեծ կողմը և ստուգում Պյութագորասի թեորեմի տեղի ունենալը՝ 132=122+52;169=144+25 

Հետևաբար, եռանկյունը ուղղանկյուն է:

Որպեսզի հաշվարկներ չկատարենք, օգտակար է հիշել Պյութագորասի առավել հաճախ պատահող թվերը՝ էջ, էջ, ներքնաձիգ 3;4;5  6;8;10 12;16;20 5;12;13   

Դիտիր Պյութագորասի թեորեմի ևս մի յուրահատուկ ապացույց: 

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 366-ա,գ; 367-ա,գ; 369-ա,գ;

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 366-բ; 367-բ; 369-բ;

.

07.05.2021 թ.—Սեղանի մակերեսը, խորանարդի,ուղղանկյունանիստի մակերևույթի մակերեսները

Սեղանի մակերեսը

Սեղանի երկու հիմքերը զուգահեռ են, հետևաբար, նրանց միացնող ուղղահայացը սեղանի բարձրությունն է: Սովորաբար բարձրությունը տանում են գագաթից, կամ անկյունագծերի հատման կետով: 

 Բարձրությամբ և անկյունագծով սեղանը բաժանվում է երեք եռանկյունների: Սեղանի մակերեսը հաշվում ենք, որպես այդ եռանկյունների մակերեսների գումար:

 S_ABCD=S_ABD+S_DBC S_ABCD=AD⋅BE/2+BC⋅DF/2=AD⋅BE/2+BC⋅BE/2=(AD+BC)⋅BE/2 Եթե սեղանի զուգահեռ կողմերը (հիմքերը) նշանակենք a և b, իսկ բարձրությունը՝ h, ապա՝ S_սեղան=a+b/2⋅h

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 345-ա; 346; 349; 352-ա; 356-ա; 358

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 345-բ; 348; 350; 352-բ; 356-բ; 359

.

20.04.2021 թ.—Բազմանկյան մակերեսը

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 302; 303-ա,գ; 305; 308; 310

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 303-բ,դ; 306; 307; 309; 312

.

13.04.2021 թ.—Բազմանկյան մակերեսը

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 298-ա,գ; 299-ա,գ; 300-ա; 301-ա;

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 298-բ,դ; 299-բ,դ; 300-բ; 301-բ

.

06.04.2021 թ.—Պատկերացում գլանի, կոնի և գնդի մասին

Տեսություն՝

Գլան

 Գլան կարելի է ստանալ՝ պտտելով AA₁O₁O ուղղանկյունը իր կողմերից որևէ մեկի, օրինակ՝ OO₁-ի շուրջ: Նույն գլանը կարելի է ստանալ՝ պտտելով AA₁B₁B ուղղանկյունն իր հանդիպակաց կողմերի միջնակետերով անցնող OO₁ ուղղի շուրջ: 

 OO₁ ուղիղը կոչվում է գլանի առանցք, AA₁-ը և BB₁-ը՝ ծնորդներ: Գլանի H բարձրությունը հավասար է OO₁=AA₁=BB₁ հատվածներից յուրաքանչյուրին: Պտտման ընթացքում առաջացած երկու շրջանները կոչվում են գլանի հիմքեր: Գլանի R=OA=OB շառավիղ կոչվում է նրա հիմքի շառավիղը:

Գլանի առանցքով անցնող հարթության և գլանի ընդհանուր մասը կոչվում է գլանի առանցքային հատույթ: Գլանի առանցքային հատույթը ուղղանկյուն է: Վերևի նկարում դա AA₁B₁B ուղղանկյունն է:
Գլանի կողմնային մակերևույթի բացվածքը ևս ուղղանկյուն է:

Կոն

 Կոնը կարելի է ստանալ՝ պտտելով POA ուղղանկյուն եռանկյունը իր էջերից որևէ մեկի, օրինակ՝ PO-ի շուրջ: Նույն կոնը կստացվի, եթե APB հավասարասրուն եռանկյունը պտտենք PO բարձրության շուրջ: 

 PO ուղիղը կոչվում է կոնի առանցք, որը պարունակում է կոնի H բարձրությունը:
Կոնի առանցքային հատույթը, որը անցնում է նրա գագաթով, հանդիսանում է PA և PB սրունքներով հավասարասրուն եռանկյուն: 

PA-ն և PB-ն կոչվում են կոնի ծնորդներ և նշանակվում են l տառով: Եռանկյան պտույտից առաջացած O կենտրոնով շրջանը կոչվում է կոնի հիմք: 

Կոնի շառավիղ կոչվում է նրա հիմքի R=OA=OB շառավիղը:

Գունդ

Գունդը ստացվում է կիսաշրջանի կամ շրջանի պտույտի միջոցով՝ իր AB տրամագծի շուրջ:

 Գնդի մակերևույթը (գնդային մակերևույթը) կոչվում է գնդոլորտ (սֆերա): Գնդոլորտը ստացվում է կիսաշրջանագծի կամ շրջանագծի պտույտի միջոցով: Գնդոլորտին են պատկանում գնդի բոլոր այն կետերը, որոնց հեռավորությունը գնդի O կենտրոնից հավասար է R շառավղին:  OA-ն, OB-ն և OC-ն, կամ ցանկացած այլ հատված, որը միացնում է գնդոլորտի կետը գնդի կենտրոնի հետ, կոչվում է գնդի շառավիղ:  Գնդի երկու կետեր միացնող հատվածը, որը անցնում է գնդի կենտրոնով, կոչվում է գնդի տրամագիծ: Վերևի նկարում դա AB հատվածն է:
Կենտրոնով անցնող գնդի հատույթը կոչվում է մեծ շրջան, իսկ գնդոլորտի հատույթը՝ մեծ շրջանագիծ:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 258; 262; 263-ա,գ;

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 260;263-բ,դ;

.

16.03.2021 թ.—Կանոնավոր բազմանկյուններ

Տեսություն՝

Կանոնավոր բազմանկյուններ

Կանոնավոր կոչվում են այն ուռուցիկ բազմանկյունները, որոնց բոլոր կողմերը և անկյունները հավասար են:

Նկարում բերված են կանոնավոր բազմանկյունների օրինակներ՝ եռանկյուն (հավասարակողմ), քառանկյուն (քառակուսի), հնգանկյուն, վեցանկյուն: 

 Եթե կանոնավոր բազմանկյան մեջ տանենք անկյունագծեր, ապա կստացվեն կանոնավոր ոչ ուռուցիկ բազմանկյուններ: 

 Եթե անկյունագծերը տանենք նույն գագաթից, ապա կանոնավոր n-անկյունը կբաժանվի n−2 եռանկյունների: ՈւշադրությունԿանոնավոր n-անկյան ներքին

անկյունների գումարը 180°⋅(n−2) է:

Քանի որ, կանոնավոր n-անկյան բոլոր անկյունները հավասար են, ապա դրանցից մեկի աստիճանային չափը կլինի` 180°⋅(n−2)/n:

Կանոնավոր բազմանկյան ներգծյալ և արտագծյալ շրջանագծերը

Ցանկացած կանոնավոր բազմանկյանը կարելի է ներգծել և արտագծել շրջանագծեր:

Երկու շրջանագծերի կենտրոնները համընկնում են և կոչվում են կանոնավոր բազմանկյան կենտրոն:

Ներգծյալ շրջանագիծը շոշափում է բազմանկյան բոլոր կողմերը նրանց միջնակետերում, արտագծյալ շրջանագիծը անցնում է բազմանկյան բոլոր գագաթներով: 

 ∡AOH=360°/n; ∡AOK=360°/2n=180°/n:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 239-ա,գ,ե; 241-ա,գ; 242-ա,գ,ե

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 239-բ,դ; 241-բ,դ; 242-բ,դ

.

09.03.2021 թ.—Ամփոփում.խնդիրների լուծում

1.d-ն շրջանագծի տրամագիծն է, r-ը՝ շառավիղը և l-ը՝ լարը: Նշիր տրամագծի, շառավղի և լարի վերաբերյալ ճիշտ պնդումը:

• Տրամագիծը լարի ամենամեծ լարի կեսն է:
• Լարը տրամագծի կեսն է:
• Շառավիղը տրամագծի կեսն է:

2.

Տրված է՝ ∢OAC=19°Հաշվիր՝ ∢OBA=° ∢AOC=°

3.

 ∪AB=110° , ∪AC=99° Գտիր BOC և BAC անկյունները: Պատասխան՝ BOC=°, BAC=°

4.Հաշվիր AC և BC լարերի կազմած ACB անկյունը, եթե ∪BmC=159° և ∪AnC=52° Պատասխան՝ ∢ACB=

5.Լարը ուղղահայաց է տրամագծին և այն բաժանում է 2 սմ և 8 սմ երկարությամբ հատվածների: Որոշիր լարի երկարությունը:

6.ABC հավասարասրուն եռանկյան AB և BC կողմերին տարված բարձրությունները հատվում են M կետում: BM ուղիղը AC հիմքը հատում է N կետում: Որոշիր NC, եթե AC=18սմ:

7.KLM եռանկյանը արտագծած է շրջանագիծ, OK=15.2 դմ:

 Հաշվիր՝ ∢LKM=° ∪ML=° ML= դմ

.8.LMN եռանկյանը ներգծած է շրջանագիծ, որը շփման կետերով բաժանվում է՝ ∪AB=110° և ∪BC=120° աղեղների: Հաշվիր եռանկյան անկյունները և CA աղեղի աստիճանային չափը:   

 ∢L=°  ∢M=°  ∢N=°

.

05.02.2021 թ.—Ներգծյալ և արտագծյալ շրջանագծեր

Տեսություն՝

Արտագծյալ շրջանագիծ

Եթե բազմանկյան բոլոր գագաթները գտնվում են շրջանագծի վրա, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ բազմանկյան արտագծյալ շրջանագիծ:

Շրջանագծի կենտրոնը հավասարահեռ է բազմանկյան բոլոր գագաթներից, հետևաբար այն գտնվում է բազմանկյան կողմերի միջնուղղահայացների հատման կետում: Ոչ բոլոր բազմանկյուններն ունեն արտագծյալ շրջանագիծ՝ հաճախ բազմանկյան համար գոյություն չի ունենում այնպիսի շրջանագիծ, որը կանցնի բազմանկյան բոլոր գագաթներով:  Քանի որ եռանկյան կողմերի միջնուղղահայացները հատվում են նույն կետում, ապա ցանկացած եռանկյուն ունի արտագծյալ շրջանագիծ: Սուրանկյուն եռանկյան դեպքում, արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյան ներսում (տես ներքևի նկարը): 

 Ուղղանկյուն եռանկյան դեպքում, արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյան ներքնաձիգի վրա (տես ներքևի նկարը):  

   Բութանկյուն եռանկյան դեպքում, արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյունից դուրս (տես ներքևի նկարը): Ներգծյալ շրջանագիծ

Եթե բազմանկյան բոլոր կողմերը շոշափում են շրջանագիծը, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ բազմանկյան ներգծյալ շրջանագիծ:

Ներգծված շրջանագծի կենտրոնը պետք է հավասարահեռ լինի բազմանկյան կողմերից, այսինքն լինի կիսորդների հատման կետում:Քանի որ եռանկյան անկյունների կիսորդները հատվում են նույն կետում, ապա ցանկացած եռանկյուն ունի ներգծյալ շրջանագիծ:

 Քանի որ, ցանկացած եռանկյան անկյունների կիսորդները հատվում են եռանկյան ներսում, ապա ներգծյալ շրջանագծի կենտրոնը միշտ գտնվում է եռանկյան ներսում:

Բանաձևեր

Հավասարակողմ եռանկյուն

Հավասարակողմ եռանկյան կողմերի միջնուղղահայացները և անկյունների կիսորդները հատվում են միևնույն կետում:   Ուշադրություն

Հետևաբար, հավասարակողմ եռանկյան արտագծյալ և ներգծյալ շրջանագծերի կենտրոնները համընկնում են: Արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը R=2/3h կամ R=a√3/3, որտեղ h -ը եռանկյան բարձրությունն է, իսկ a -ն՝ կողմը: Ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը r=1/3h կամ r=a√3/6 որտեղ h -ը եռանկյան բարձրությունն է, իսկ a -ն՝ կողմը: Հավասարակողմ եռանկյան բարձրությունը և կողմը կապված են հետևյալ բանաձևով՝ h=a√3 /2

Ուղղանկյուն եռանկյուն

Արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը R=1/2c, որտեղ c -ն ներքնաձիգն է: Ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը r=SΔ/p, որտեղ p -ն կիսապարագիծն է:  

 Կամայական եռանկյուն Արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը R=a⋅b⋅c/4⋅SΔ Ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը r=SΔ/p, որտեղ p -ն կիսապարագիծն է:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 200; 202; 205; 207

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 199; 201; 206; 208

.

02.02.2021 թ.—Անցածի կրկնություն

.

18.12.2020 թ.—Ինքնաստուգում

.

15.12.2020 թ.—Եռանկյան 4 նշանավոր կետերը

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 191; 193

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 192; 194

.

11.12.2020 թ.—նախագիծ

.

08.12.2020 թ.—նախագիծ

• 

• 

• 

• 

• 

• 

.

04.12.2020 թ.—Եռանկյան 4 նշանավոր կետերը

Առաջադրանքների փաթեթ

՝

.

01.12.2020 թ.—Եռանկյան 4 նշանավոր կետերը

Տեսություն՝

Եռանկյան նշանավոր կետերը

Թեորեմ 1: Անկյան կիսորդի ցանկացած կետ հավասարահեռ է անկյան կողմերից: 

Թեորեմ 2 (հակադարձ): Եթե անկյան մեջ ընկած կետը հավասարահեռ է անկյան կողմերից, ապա այն ընկած է անկյան կիսորդի վրա: 

Թեորեմ 3: Հատվածի միջնուղղահայացի ցանկացած կետ հավասարահեռ է հատվածի ծայրակետերից:

 Թեորեմ 4 (հակադարձ): Եթե կետը հավասարահեռ է հատվածի ծայրակետերից, ապա այն ընկած է հատվածի միջնուղղահայացի վրա:

Եռանկյան առաջին նշանավոր կետը՝ կիսորդների հատման կետը

Թեորեմ 5: Եռանկյան անկյունների կիսորդները հատվում են միևնույն կետում:

 AN -ը և BM -ը կիսորդներ են, O -ն նրանց հատման կետն է:  Արդյո՞ք CK -ն էլ է անկյան կիսորդ: O կետը հավասարահեռ է AB, AC և BA, BC կողմերից: Ուրեմն, այն հավասարահեռ է AC և BC կողմերից: Ըստ թեորեմ 2 -ի, O կետն ընկած է ∡C անկյան կիսորդի վրա: Այս կետը եռանկյան ներգծյալ շրջանագծի կենտրոնն է և միշտ ընկած է եռանկյան մեջ:

Եռանկյան երկրորդ նշանավոր կետը՝ կողմերի միջնուղղահայացների հատման կետը

Թեորեմ 6: Եռանկյան կողմերի միջնուղղահայացները հատվում են միևնույն կետում:

  Դիցուք O կետը AB և BC կողմերի միջնուղղահայացների հատման կետն է: Քանի որ այն հավասարահեռ է A, B և B, C կետերից, ապա, ըստ Թեորեմ 4-ի, այն ընկած է նաև AC կողմի միջնուղղահայացի վրա: Այս կետը եռանկյան արտագծյալ շրջանագծի կենտրոննէ: Եթե եռանկյունը սուրանկյուն է, ապա կետը ընկած է եռանկյան մեջ, եթե եռանկյունը բութանկյուն է, ապա այն ընկած է եռանկյունից դուրս և, եթե եռանկյունը ուղղանկյուն է, ապա այն ընկած է ներքնաձիգի վրա:

Եռանկյան երրորդ նշանավոր կետը՝ միջնագծերի հատման կետը

Թեորեմ 7: Եռանկյան միջնագծերը հատվում են միևնույն կետում, որը յուրաքանչյուր միջնագիծը բաժանում է 2 : 1 հարաբերությամբ հատվածների՝ հաշված գագաթից: 

Միջնակետերի հատման կետն անվանում են եռանկյան ծանրության կենտրոն:

Եռանկյան չորրորդ նշանավոր կետը՝ բարձրությունների հատման կետը

Թեորեմ 8: Եռանկյան բարձրությունները (կամ նրանց շարունակությունները) հատվում են միևնույն կետում:

Բարձրությունների հատման կետն անվանում են եռանկյան օրտոկենտրոն:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 185; 187; 189;

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 188; 190

.

27.11.2020 թ.—Կենտրոնային և ներգծյալ անկյուններ

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 166; 168; 170; 172; 174; 176

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 167; 169; 171; 173; 177

.

24.11.2020 թ.—Կենտրոնային և ներգծյալ անկյուններ

Տեսություն՝

Կենտրոնային և ներգծյալ անկյուններ

Եթե շրջանագծի վրա վերցնել երկու կետ, ապա շրջանագիծը կբաժանվի երկու աղեղների: Երկու աղեղների ծայրակետերն էլ A և B կետերն են, սակայն մեկը մյուսից երկար է:

 Այդ երկու աղեղներն իրարից տարբերելու համար օգտագործում են նշանակման մի քանի ձև: Ձևերից մեկում օգտագործում են լատիներեն փոքրատառեր՝ ∪AnB: Նաև կարելի է շրջանագծի վրա վերցնել երրորդ միջանկյալ C կետը: Այն կպատկանի աղեղներից մեկին և չի պատկանի մյուսին: Այս դեպքում ∪ACB -ն նշանակում է այն աղեղը, որին պատկանում է C կետը:

 Ցանկացած աղեղ ունի աստիճանային չափ: Մեր դիտարկած երկու աղեղների աստիճանային չափերի գումարը տալիս է լրիվ անկյան չափը՝ 360°: Եթե վերցված կետերը միացնող հատվածը տրամագիծ է, ապա աղեղն անվանում են կիսաշրջանագիծ: Կիսաշրջանագծի աստիճանային չափը 180° է:

Կենտրոնային և ներգծյալ անկյուններ

Այն անկյունը, որի գագաթը շրջանագծի կենտրոնն է, կոչվում է կենտրոնային անկյուն:

 Աղեղի աստիճանային չափը հավասար է համապատասխան կենտրոնային անկյան աստիճանային չափին՝ ∡AOB=∪AB

Այն անկյունը, որի գագաթն ընկած է շրջանագծի վրա, իսկ կողմերը շրջանագիծը հատում են, կոչվում է ներգծյալ անկյուն:

 Ներգծյալ անկյունը չափվում է այն աղեղի կեսով, որի վրա նա հենվում է՝∡ACB=1/2∪AB

1. Նույն աղեղի վրա հենված ներգծյալ անկյունները հավասար են: 

2. Կիսաշրջանագծի վրա հենված ներգծյալ անկյունը 90° է:

        Շրջանագծի հատվող լարերի հատկությունը

 Եթե շրջանագծի երկու լարեր հատվում են, ապա մի լարի հատվածների արտադրյալը հավասար է մյուս լարի հատվածների արտադրյալին: Այս հատկությունն ապացուցվում է եռանկյունների նմանության գաղափարի օգնությամբ՝ ΔCKA∼ΔBKD: Այս գաղափարը կուսումնասիրենք հետագայում: Նշենք, որ ապացույցի հիմքում ընկած է այն փաստը, որ նշված եռանկյունների բոլոր երեք անկյունները համապատասխանաբար հավասար են՝ ∡1 անկյունները նույն աղեղի վրա հենված ներգծյալ անկյուններ են, իսկ ∡2 անկյունները՝ հակադիր են:  Այսպիսով՝ AK⋅KB=CK⋅KD

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 157; 159; 162; 164

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 160; 161; 163; 165

.

20.11.2020 թ.—Շրջանագիծ:Շրջանագծի շոշափող:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 149; 151; 153

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 150; 152; 154

.

17.11.2020 թ.—Շրջանագիծ:Շրջանագծի շոշափող:

Տեսություն՝

Շրջանագծի և ուղղի փոխադարձ դասավորությունը

Շրջանագիծն ու ուղիղը կարող են հատվել, կամ՝ ոչ: Հատվելիս նրանք կարող են ունենալ մեկ կամ երկու ընդհանուր կետեր:  

1. Եթե շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունն ուղղից մեծ է շրջանագծի շառավղից, ապա շրջանագիծն ու ուղիղը ընդհանուր կետեր չունեն: 

2. Եթե շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունն ուղղից փոքր է շրջանագծի շառավղից, ապա շրջանագիծն ու ուղիղն ունեն երկու ընդհանուր կետեր: 

 Այդ դեպքում ուղիղն անվանում են շրջանագծի հատող:

Եթե ուղիղը շրջանագծի հետ ունի երկու ընդհանուր կետեր, ապա այն կոչվում է շրջանագծի հատող:

3. Եթե շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունն ուղղից հավասար է շրջանագծի շառավղին, ապա շրջանագիծն ու ուղիղն ունեն մեկ ընդհանուր կետ: 

 Այդ դեպքում ուղիղն անվանում են շրջանագծի շոշափող:Եթե ուղիղը շրջանագծի հետ ունի մեկ ընդհանուր կետ, ապա այն կոչվում է շրջանագծի շոշափող:

Շրջանագծի շոշափող

Եթե շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունն ուղղից հավասար է շրջանագծի շառավղին, ապա շրջանագիծն ու ուղիղը ունեն մեկ ընդհանուր կետ: 

 Այդ դեպքում ուղիղն անվանում են շրջանագծի շոշափող:

Եթե ուղիղը շրջանագծի հետ ունի մեկ ընդհանուր կետ, ապա այն կոչվում է շրջանագծի շոշափող:

Շրջանագծի շոշափողը ուղղահայաց է շոշափման կետից տարված շառավղին:

 Ենթադրենք, թե OA շառավիղն ուղղահայաց չէ շոշափողին, այլ թեք է: Ապա, O կետից կարելի է տանել ուղղին ուղղահայաց, որը կլինի շառավղից փոքր: Սա նշանակում է, որ շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունն ուղղից ավելի փոքր է, քան շառավիղը, ուրեմն, շրջանագիծն ու ուղիղը պիտի ունենան երկու ընդհանուր կետեր: Սա հակասում է այն փաստին, որ ուղիղը շոշափող է: Հետևաբար, մեր ենթադրությունը սխալ էր:

Եթե միևնույն կետից շրջանագծին տարված են երկու շոշափողներ, ապա
ա) շոշափման կետերի հեռավորությունները տրված կետից հավասար են,

 բ) շրջանագծի կենտրոնով և տրված կետով անցնող ուղիղը կիսում է շոշափողների կազմած անկյունը:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 139-ա,գ; 142; 143; 148

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 139-բ,դ; 145; 146

.

10.11.2020 թ.—Ինքնաստուգում

.

30.10.2020 թ.—Խնդիրների լուծում, կրկնություն:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 106; 109; 123; 124

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 105; 110

.

27.10.2020 թ.—Պատկերացում բազմանիստի մասին:Ուղղանկյունանիստ, խորանարդ, պրիզմա, բուրգ:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 95; 97; 99; 101; 103

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 96; 98; 100; 102

.

23.10.2020 թ.—Պատկերացում բազմանիստի մասին:Ուղղանկյունանիստ, խորանարդ, պրիզմա:

Տեսություն՝

Մինչև հիմա մենք ուսումնասիրում էինք երկրաչափության այն բաժինը, որը կոչվում է հարթաչափություն: Այդ բաժինը հարթ պատկերների (պատկերներ, որոնք ամբողջովին ընկած են որևէ հարթության մեջ) և նրանց հատկությունների վերաբերյալ էր: Սակայն մեզ շրջապատող առարկաները հիմնականում հարթ չեն: Ցանկացած իրական առարկա զբաղեցնում է տարածության մի մասը:  

Երկրաչափության այն բաժինը, որը ուսումնասիրում է պատկերների հատկությունները տարածության մեջ, կոչվում է տարածաչափություն:

Եթե տարածական մարմնի մակերևույթը կազմված է միայն բազմանկյուններից, ապա մարմինը կոչվում է բազմանիստ:

Բազմանկյունները, որոնցից կազմված է բազմանիստի մակերևույթը, կոչվում են նիստեր: Նիստերի կողմերը կոչվում են բազմանիստի կողեր: Կողերի ծայրակետերը կոչվում են բազմանիստի գագաթներ:

Բազմանիստի նույն նիստի վրա չգտնվող երկու գագաթները միացնող հատվածը կոչվում է բազմանիստի անկյունագիծ:

Զուգահեռանիստ

Զուգահեռանիստ կոչվում է այն բազմանիստը, որի բոլոր բազմանկյունները զուգահեռագծեր են:

Զուգահեռանիստի բոլոր նիստերը զուգահեռագծեր են:  

Եթե զուգահեռանիստի երկու նիստեր չունեն ընդհանուր կողեր (ոչ էլ ընդհանուր գագաթներ), ապա դրանք կոչվում են հանդիպակաց նիստեր:  Հանդիպակաց նիստերից երկուսը, օրինակ՝ ABCD-ն և A₁B₁C₁D₁-ը կոչվում են զուգահեռանիստի հիմքեր, իսկ մյուսները՝ կողմնային նիստեր:

Զուգահեռանիստն ունի 2 հիմք, 4 կողմնային նիստ, 12 կող և 8 գագաթ:

Ուղղանկյունանիստ և խորանարդ

Այն զուգահեռանիստը, որի բոլոր նիստերը ուղղանկյուններ են, կոչվում է ուղղանկյունանիստ: 

Ուղղանկյունանիստն ունի 6 նիստ, 12 կող, 8 գագաթ և 4 անկյունագիծ:

Ուղղանկյունանիստի բոլոր չորս անկյունագծերը հավասար են:  

Այն ուղղանկյունանիստը, որի բոլոր կողերը հավասար են, կոչվում է խորանարդ:

Պրիզմա

Դիտարկենք հետևյալ բազմանիստը:   

    Այս բազմանիստի մակերևույթը կազմված է երկու հավասար եռանկյուններից (հիմքեր)՝ ABC և A₁B₁C₁, իսկ մյուս բոլոր նիստերը ուղղանկյուններ են: 

Դիտարկենք ևս մեկ բազմանիստ: 

 Այս բազմանիստի հիմքերը հավասար վեցանկյուններ են, իսկ մյուս բոլոր նիստերը ուղղանկյուններ են: Բազմանիստների բերված երկու օրինակներում հիմքերը հավասար բազմանկյուններ են, իսկ մյուս բոլոր նիստերը ուղղանկյուններ են: Այդպիսի մարմինները կոչվում են ուղիղ պրիզմա: Հավասար բազմանկյունները կոչվում են պրիզմայի հիմքեր:   Ուղղանկյունները կոչվում են կողմնային նիստեր: Ուղիղ պրիզման կոչվում է կանոնավոր, եթե պրիզմայի հիմքերը կանոնավոր բազմանկյուններ են:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 90-ա; 91;92-ա;94-ա

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 90-բ; 92-բ; 94-բ;

.

20.10.2020 թ.—Ուղղանկյուն, շեղանկյուն, քառակուսի

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 68; 70;74;78

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 69; 72; 75; 79

.

16.10.2020 թ.—Ուղղանկյուն, շեղանկյուն, քառակուսի

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 60; 62;64; 67

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 61; 63; 65

.

13.10.2020 թ.—Ուղղանկյուն, շեղանկյուն, քառակուսի

Տեսություն՝

Ուղղանկյուն կոչվում է այն զուգահեռագիծը, որի բոլոր անկյունները ուղիղ են:

 Ուղղանկյան հատկությունները

Քանի որ ուղղանկյունը զուգահեռագիծ է, ապա այն ունի զուգահեռագծի բոլոր հատկությունները:

Շեղանկյուն կոչվում է այն զուգահեռագիծը, որի բոլոր կողմերը հավասար են:

Շեղանկյան հատկությունները

Քանի որ շեղանկյունը զուգահեռագիծ է, ապա այն ունի զուգահեռագծի բոլոր հատկությունները:

Քառակուսի է կոչվում այն ուղղանկյունը, որի բոլոր կողմերը հավասար են:

Քառակուսու հատկությունները

Քառակուսին զուգահեռագիծ է, ուղղանկյուն և շեղանկյուն: Հետևաբար, այն ունի զուգահեռագծի, ուղղանկյան և շեղանկյան բոլոր հատկությունները:

Ուղղանկյան հայտանիշները

 Հայտանիշների միջոցով կարելի է պարզել, թե արդյո՞ք զուգահեռագիծը կամ քառանկյունը ուղղանկյուն է:
1. Եթե քառանկյան երեք անկյունները ուղիղ են, ապա քառանկյունը ուղղանկյուն է:

 2. Եթե զուգահեռագծի անկյուններից որևէ մեկը ուղիղ է, ապա զուգահեռագիծը ուղղանկյուն է: 

3. Եթե զուգահեռագծի անկյունագծերը հավասար են, ապա զուգահեռագիծը ուղղանկյուն է:

Քառակուսու հայտանիշները

Այս հայտանիշների միջոցով կարելի է պարզել, թե արդյո՞ք ուղղանկյունը կամ շեղանկյունը քառակուսի է:

1. Եթե ուղղանկյան երկու կից կողմերը հավասար են, ապա ուղղանկյունը քառակուսի է:

 2. Եթե ուղղանկյան անկյունագծերը փոխուղղահայաց են, ապա ուղղանկյունը քառակուսի է: 

3. Եթե շեղանկյան անկյուններից որևէ մեկը ուղիղ է, ապա շեղանկյունը քառակուսի է: 

4. Եթե շեղանկյան անկյունագծերը հավասար են, ապա շեղանկյունը քառակուսի է:

Շեղանկյան հայտանիշները

 Հայտանիշների միջոցով կարելի է պարզել, թե արդյո՞ք քառանկյունը կամ զուգահեռագիծը շեղանկյուն է:
1. Եթե զուգահեռագծի անկյունագծերը փոխուղղահայաց են, ապա զուգահեռագիծը շեղանկյուն է: 

2. Եթե զուգահեռագծի երկու կից կողմերը հավասար են, ապա զուգահեռագիծը շեղանկյուն է: 

3. Եթե զուգահեռագծի անկյունագծերը նաև անկյունների կիսորդներ են, ապա զուգահեռագիծը շեղանկյուն է:

 4. Եթե քառանկյան բոլոր կողմերը հավասար են, ապա քառանկյունը շեղանկյուն է:  

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 54;56;59

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 55; 57; 58

.

09.10.2020 թ.—Թալեսի թեորեմը: Սեղան

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 42; 44; 49

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 43;46; 50

.

29.09.2020 թ.—Թալեսի թեորեմը: Սեղան

Տեսություն

Թալեսի թեորեմը

Եթե անկյան կողմերը հատող զուգահեռ ուղիղները անկյան մի կողմի վրա անջատում են հավասար հատվածներ, ապա նրանք անկյան մյուս կողմի վրա ևս անջատում են հավասար հատվածներ:Թալեսի թեորեմը օգտագործում են տրված հատվածը մի քանի հավասար մասերի բաժանելու համար: 

 Պետք է AB հատվածը բաժանել 7 հավասար մասերի:  

Գծենք անկյուն, որի մի կողմի վրա ընկած է AB հատվածը: BC կողմը գծենք վանդակների միջոցով՝ հորիզոնական ուղղությամբ: Վանդակները օգտագործում ենք կողմը 7 հավասար մասերի բաժանելու համար՝ BD=DE=EF=FG=GH=HJ=JC:

Երկու հատվածների ծայրակետերը միացնում ենք և ստանում AC հատվածը: J,H,G,F,E,D կետերից տանենք AC -ին զուգահեռ 7 ուղիղներ (նորից օգտագործում ենք վանդակները): Եթե BD=DE=EF=FG=GH=HJ=JC և AC∥JK∥HL∥GM∥FN∥EP∥DR, ապա, ըստ Թալեսի թեորեմի՝ BR=RP=PN=NM=ML=LK=KA: *Թեորեմը կոչվում է հին հույն գիտնական Թալես Միլեթացու (մ.թ.ա. մոտ 625-547 թթ.) անունով:

Եռանկյան միջին գիծը

Եռանկյան երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածը կոչվում է այդ եռանկյան միջին գիծ:Միջին գիծը զուգահեռ է եռանկյան կողմերից մեկին և հավասար է նրա կեսին: 

 EF∥AC EF=AC/2 Համոզվելու համար, որ պնդումը տեղի ունի, պետք է հիշել Թալեսի թեորեմը:  Ցանկացած եռանկյուն ունի երեք միջին գիծ: 

Միջին գծերն են՝ DE -ն, EF -ը և DF -ը:

Եռանկյան միջին գիծըԵռանկյան երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածը կոչվում է այդ եռանկյան միջին գիծ:Միջին գիծը զուգահեռ է եռանկյան կողմերից մեկին և հավասար է նրա կեսին: 

 EF∥ACEF=AC2 Համոզվելու համար, որ պնդումը տեղի ունի, պետք է հիշել Թալեսի թեորեմը:  Ցանկացած եռանկյուն ունի երեք միջին գիծ: 

Միջին գծերն են՝ DE -ն, EF -ը և DF -ը:

,

Սեղան

Սեղան է կոչվում այն քառանկյունը, որի երկու կողմերը զուգահեռ են, իսկ մյուս երկուսը զուգահեռ չեն:

 Սեղանի զուգահեռ կողմերը կոչվում են հիմքեր:AD -ն և BC -ն սեղանի հիմքերն են:  Սեղանի կողմերը, որոնք զուգահեռ չեն, կոչվում են սրունքներ:AB -ն և CD -ն սեղանի սրունքներն են:   Կան սեղանի մի քանի տեսակներ: Հաճախ դիտարկվում են ուղղանկյուն և հավասարասրուն սեղանները:Ուղղանկյուն սեղան

Սեղանը կոչվում է ուղղանկյուն սեղան, եթե նրա սրունքներից որևէ մեկը ուղղահայաց է հիմքերին:Հավասարասրուն սեղան

Սեղանը, որի սրունքները հավասար են, կոչվում է հավասարասրուն սեղան:Սեղանի հատկություններըՍեղանի ներքին անկյունների գումարը (ցանկացած քառանկյան) 360° է: Ցանկացած սեղանի սրունքին առընթեր անկյունների գումարը 180° է: 

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 33; 35; 38; 41

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 34;36; 40

.

25.09.2020 թ.—Զուգահեռագիծ

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 24; 26-ա; 29

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 25; 26-գ; 30

.

22.09.2020 թ.—Զուգահեռագիծ

Տեսություն

Զուգահեռագիծ կոչվում է այն քառանկյունը, որի հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ զուգահեռ են:

Զուգահեռագծի հատկությունները1. Զուգահեռագծի հանդիպակաց կողմերը հավասար են՝ AB=DC, BC=AD

2. Զուգահեռագծի հանդիպակաց անկյունները հավասար են՝ ∢A=∢C, ∢B=∢D

3. Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատման կետով կիսվում են՝ BO=OD, AO=OC

4. Զուգահեռագիծը անկյունագծով բաժանվում է երկու հավասար եռանկյունների՝ ABC և CDA եռանկյունները հավասար են:

5. Զուգահեռագծի յուրաքանչյուր կողմին առընթեր անկյունների գումարը 180 աստիճան է՝ ∢A+∢D=180°

6. Անկյունագծի խաչադիր անկյունները հավասար են՝ ∢BAC=∢ACD,∢BCA=∢CAD

Զուգահեռագծի հայտանիշները

Զուգահեռագծի հայտանիշները

թույլ են տալիս պարզելու, թե արդյո՞ք տրված քառանկյունը զուգահեռագիծ է:
1. Եթե քառանկյան երկու կողմերը հավասար են և զուգահեռ, ապա քառանկյունը զուգահեռագիծ է: 
2. Եթե քառանկյան հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ հավասար են, ապա քառանկյունը զուգահեռագիծ է: 

3. Եթե քառանկյան անկյունագծերը հատվում և հատման կետով կիսվում են, ապա քառանկյունը զուգահեռագիծ է: 

Զուգահեռագծի բարձրություն

a և b ուղիղները կոչվում են զուգահեռ, եթե նրանք չեն հատվում: Զուգահեռ ուղիղները նշանակում են այսպես՝  a||b

Զուգահեռ ուղիղների միջև հեռավորություն կոչվում է նրանց ընդհանուր ուղղահայացի երկարությունը: Այս նկարում դա AB հատվածն է:

Հեռավորությունը զուգահեռ ուղիղների միջև միշտ նույնն է: Ուղղահայացը կարելի է տանել ցանկացած կետից՝ որտեղից հարմար է:
Ոչ զուգահեռ ուղիղների միջև հեռավորությունը չի սահմանվում: Երկրաչափական պատկերներում ուղղահայացը սովորաբար տարվում է պատկերի գագաթից:

 Զուգահեռագծի հանդիպակաց կողմերը զուգահեռ են: Հետևաբար, կարելի է սահմանել հեռավորությունը նրանց միջև:Զուգահեռագծի գագաթից հանդիպակաց կողմին տարված ուղղահայացը կոչվում է զուգահեռագծի բարձրություն: Զուգահեռագծի մի գագաթից կարելի է տանել երկու բարձրություն: Վերևի նկարում զուգահեռագծի BK բարձրության երկարությունը հավասար է BC և AD զուգահեռ կողմերի միջև հեռավորությանը, իսկ BF բարձրության երկարությունը՝ AB և DC զուգահեռ կողմերի միջև հեռավորությանը:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 16-ա;17;19; 22

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 16-բ; 18; 20; 23

.

18.09.2020 թ.—Բազմանկյուններ

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 5;8;11; 13

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 3; 6; 10; 12

.

.

15.09.2020 թ.—Բազմանկյուններ

Տեսություն

Բեկյալ

Կետերից և դրանք միացնող հատվածներից բաղկացած պատկերը կոչվում է բեկյալ: Կետերը կոչվում են բեկյալի հանգույցներ, իսկ հատվածները՝ օղեր:

Բեկյալների տեսակներ

Բեկյալը կոչվում է փակ, եթե նրա առաջին և վերջին հանգույցները համընկնում են:

 Բեկյալը կոչվում է բաց, եթե նրա առաջին և վերջին հանգույցները չեն համընկնում:  

Բեկյալը կոչվում է պարզ, եթե այն չունի ինքնահատումներ: Վերևի երկու բեկյալներն էլ պարզ են: Հետևյալ բեկյալը պարզ չէ:

  

Բազմանկյուն

Բազմանկյուն կոչվում է պարզ փակ բեկյալից և նրանով սահմանափակված տիրույթից բաղկացած պատկերը: Բեկյալի հանգույցները կոչվում են բազմանկյան գագաթներ, իսկ օղերը՝ կողմեր: Երկու ոչ հարևան գագաթները (որոնք չեն գտնվում նույն կողմի վրա) միացնող հատվածը կոչվում է բազմանկյան անկյունագիծ:

   A, B, C, D, E՝ գագաթներ,
AB, BC, CD, DE, AE՝ կողմեր,
AC, AD, BE, BD, CE՝ անկյունագծեր:  Յուրաքանչյուր քազմանկյուն հարթությունը բաժանում է երկու մասի, որոնցից մեկը կոչվում է բազմանկյան ներքին տիրույթ, իսկ երկրորդը՝ արտաքին տիրույթ:

Ուռուցիկ բազմանկյուններ

Բազմանկյունը, որի բոլոր անկյունները 180°-ից փոքր են, կոչվում է ուռուցիկ բազմանկյուն:Ներքևի ABCDE հնգանկյունը ուռուցիկ է:  

Ուռուցիկ n-անկյան անկյունների գումարը

Ընդհանուր դեպքում, բազմանկյունը կարելի անվանել n-անկյուն, եթե այն ունի n հատ կողմ, n հատ անկյուն և n հատ գագաթ:

Ուռուցիկ n-անկյան անկյունների գումարը հավասար է 180°⋅(n−2)-ի:

Ցանկացած բազմանկյուն կարելի է բաժանել եռանկյունների: Այդպես է արված վերևի նկարում: Եռանկյունների թիվը 2 -ով քիչ է բազմանկյան կողմերի թվից: Եռանկյունների կողմերը բազմանկյան կողմեր և անկյունագծեր են: Ցանկացած եռանկյան ներքին անկյունների գումարը 180° է: Հետևաբար, ուռուցիկ n-անկյան անկյունների գումարը 180°⋅(n−2) է:

Օրինակ

Հաշվենք ներքևի տասնմեկանկյան անկյունների գումարը: 

Նկարը կարելի էր նույնիսկ չգծել, այլ օգտվել բանաձևից: Կիրառելով բանաձևը, ստանում ենք՝
180°⋅(n−2)=180°⋅(11−2)=180°⋅9=1620°

Կանոնավոր բազմանկյուններ

Այն ուռուցիկ բազմանկյունը, որի բոլոր կողմերը և անկյունները հավասար են, կոչվում է կանոնավոր բազմանկյուն:Կանոնավոր եռանկյունը հավասարակողմ եռանկյունն է: Կանոնավոր քառանկյունը քառակուսին է:

Քառանկյուններ

Բազմանկյունը կոչվում է քառանկյուն, եթե այն ունի 4 կողմ:Քառանկյունն ունի 4 կողմ, 4 գագաթ, 4 անկյուն, 2 անկյունագիծ: Քառանկյան ոչ կից կողմերը կոչվում են հանդիպակաց: Ուռուցիկ բազմանկյան անկյունների գումարի բանաձևի մեջ n-ի փոխարեն 4 տեղադրելով, ստանում ենք հետևյալ պնդումը:

Ուռուցիկ քառանկյան անկյունների գումարը հավասար է 360°-ի:

Դասարանական առաջադրանքներDownload

Լրացուցիչ առաջադրանքներDownload