10.05.2023թ-17.05.2023թ

17.05.2023թ-Պյութագորասի թեորեմը

Դասարանական առաջադրանքներ՝374-ա,գ; 375-ա; 376; 379-ա,գ; 381;387

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 374-բ,դ; 375-բ; 377; 379-բ; 382; 385

.

10.05.2023թ-Պյութագորասի թեորեմը

Տեսություն՝

Պյութագորասի թեորեմը

Պյութագորաս (մ.թ.ա. 570–490 թ.)՝ հույն մաթեմատիկոս և փիլիսոփա:  

Պյութագորասի կենսագրության փաստերը հայտնի չեն: Նրա կյանքի մասին կարելի է դատել մյուս հույն փիլիսոփաների ստեղծագործությունների հիման վրա: Նրանց վկայությամբ Պյութագորասը շփվում էր իր ժամանակի ճանաչված մտածողների և գիտնականների հետ: Հայտնի է, որ Պյութագորասը երկար ժամանակ անցկացրել է Եգիպտոսում՝ ուսումնասիրելով տեղի ավանդույթներն ու հայտնագործությունները:

Մաթեմատիկայում Պյութագորասն ունեցավ մեծ հաջողություններ: Երկրաչափության ամենահայտնի թեորեմներից է Պյութագորասի թեորեմը, որի հայտնագործությունն ու ապացույցը վերագրվում է Պյութագորասին:

Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի վրա կառուցված քառակուսու մակերեսը հավասար է նրա էջերի վրա կառուցված քառակուսիների մակերեսների գումարին:  

Մաթեմատիկայի պատմության մեջ գոյություն ունեն պնդումներ այն մասին, որ այդ թեորեմը գիտեին դեռևս Պյութագորասից շատ առաջ: Մասնավորապես, եգիպտացիները գիտեին, որ 3, 4 և 5 կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է:  

Ներկայումս թեորեմը հնչում է այսպես՝

Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է եռանկյան էջերի քառակուսիների գումարին՝ c²=a²+b²

Հայտնի են այս թեորեմի բազմաթիվ ապացույցներ, սակայն ամենաակնառու ապացույցներից մեկը հիմնված է մակերեսների վրա:

1. Կառուցենք եռանկյան էջերի a+b գումարին հավասար կողմով քառակուսի: Քառակուսու մակերեսը (a+b)² է:

2. Եթե տանենք c ներքնաձիգները, ապա կառուցված քառակուսու ներսում կառաջանա ևս քառանկյուն: Քառանկյան բոլոր կողմերը հավասար են c-ի, իսկ անկյունները՝ ուղիղ են: Իրոք, ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը 90° է, հետևաբար քառանկյան անկյունը ևս պիտի լինի 90°, որպեսզի նրանց գումարը հավասար լինի 180° -ի:

Այսպիսով, առաջացած քառանկյունը ևս քառակուսի է: Հետևաբար, մեծ քառակուսու մակերեսը բաղկացած է ներսի քառակուսու մակերեսից և չորս հավասար ուղղանկյուն եռանկյունների մակերեսներից:

3. Մեծ քառակուսու երկու կողմերի վրա տեղերով փոխենք a և b հատվածները, դրանից քառակուսու կողմը չի փոխվի: Հիմա քառակուսու մակերեսը բաղկացած է (a\) և b կողմերով երկու քառակուսիներից և երկու ուղղանկյուններից՝

4. Համեմատելով մեծ քառակուսու մակերեսը երկու նկարներում, եզրակացնում ենք, որ՝ 4⋅ab²+c²=a²+2ab+b², որտեղից գալիս ենք պահանջվող հավասարությանը՝

c²=a²+b²

Ուշադրություն

Այս հավասարությունից կարելի է արտահայտել c ներքնաձիգը՝ a և b էջերի միջոցով՝ 

c²=a²+b²

c=√a²+b²

Կարելի է նաև մի էջը արտահայտել ներքնաձիգի և մյուս էջի միջոցով՝

a²=c²−b²

a=√c²−b²

Տեղի ունի նաև Պյութագորասի թեորեմի հակադարձ թեորեմը, որը կիրառվում է որպես ուղղանկյուն եռանկյան հայտանիշ:

Եթե եռանկյան մի կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին, ապա այդ եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է:

Օրինակ

Արդյո՞ք 6 սմ, 7 սմ և 9 սմ կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է: 

Ընտրում ենք մեծ կողմը և ստուգում Պյութագորասի թեորեմի տեղի ունենալը՝

9²=6²+7²;81≠36+49

Հետևաբար, եռանկյունը ուղղանկյուն չէ:

Արդյո՞ք 5 սմ, 12 սմ և 13 սմ կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է: 

Ընտրում ենք մեծ կողմը և ստուգում Պյութագորասի թեորեմի տեղի ունենալը՝

13²=12²+5²;169=144+25

Հետևաբար, եռանկյունը ուղղանկյուն է:

Որպեսզի հաշվարկներ չկատարենք, օգտակար է հիշել Պյութագորասի առավել հաճախ պատահող թվերը՝

էջ, էջ, ներքնաձիգ

3;4;5

6;8;10

12;16;20

5;12;13

Դիտիր Պյութագորասի թեորեմի ևս մի յուրահատուկ ապացույց:

Դասարանական առաջադրանքներ՝366-ա,գ; 367-ա,գ; 369; 371; 372

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 366-բ,դ; 367-բ,դ; 368; 370; 373

03.05.2023-05.05.2023թթ

03.05.2023թ-Խորանարդի և ուղղանկյունանիստի մակերևույթների մակերեսները

Տեսություն՝

Դասարանական առաջադրանքներ՝352; 356; 358; 360; 363

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 353; 357; 359; 362; 364

26.04.2023թ

26.04.2023թ-Զուգահեռագծի, եռանկյան և սեղանի մակերեսները

Դասարանական առաջադրանքներ՝345-ա,գ; 346; 348; 350

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 345-բ; 347; 349; 351

03.04.2023-14.04.2023թթ

19.04.2023թ-Զուգահեռագծի, եռանկյան և սեղանի մակերեսները

Դասարանական առաջադրանքներ՝335; 337; 340; 343

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 336; 338; 339; 342

.

14.04.2023թ-Զուգահեռագծի, եռանկյան և սեղանի մակերեսները

Դասարանական առաջադրանքներ՝322; 324; 326; 330; 332

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 323; 325; 329-ա,գ; 331; 333

.

12.04.2023թ-Զուգահեռագծի, եռանկյան և սեղանի մակերեսները

Տեսություն՝

Զուգահեռագծի մակերեսը

Պետք է սահմանել, թե որն է զուգահեռագծի բարձրությունը:

Դա ուղղահայացն է, որը տարված է զուգահեռագծի կողմի ցանկացած կետից դեպի հանդիպակաց կողմը պարունակող ուղիղը:

Սովորաբար ուղղահայացը տանում են զուգահեռագծի գագաթից: Քանի որ զուգահեռագիծն ունի տարբեր երկարությամբ կողմերի երկու զույգ, ապա այն ունի տարբեր երկարությամբ երկու բարձրություն: 

BE բարձրությունը, որը տարված է երկու մեծ կողմերի միջև ավելի կարճ է, քան BF-ը, որը տարված է կարճ կողմերի միջև:  

Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է նրա կողմի և նրան տարված բարձրության արտադրյալին:

B և C գագաթներից տանենք բարձրություններ AD կողմին:

ABE և DCF ուղղանկյուն եռանկյունները հավասար են (հավասար ներքնաձիգներ՝ զուգահեռագծի հանդիպակաց կողմերը, և հավասար էջեր՝ հեռավորությունները զուգահեռ ուղիղների միջև):

ABCD զուգահեռագիծը և EBCF ուղղանկյունը հավասարամեծ են՝ ունեն հավասար մակերեսներ, քանի որ բաղկացած են հավասար պատկերներից:

S_ABCD=S_ABE+S_EBCD

S_EBCF=S_EBCD+S_DCF

Հետևաբար, զուգահեռագծի մակերեսը կարելի է հաշվել` հաշվելով ուղղանկյան մակերեսը՝

SEBCF=BE⋅BCSABCD=BE⋅BC=BC⋅AD

Եթե a-ով նշանակել կողմը, իսկ h-ով բարձրությունը, ապա՝

S_{զուգահեռագիծ}=a⋅h

Շեղանկյան մակերեսը

Շեղանկյան անկյունագծերը փոխուղղահայաց են և հատման կետով կիսվում են: Շեղանկյունը բաժանվում է չորս հավասար ուղղանկյուն եռանկյունների:

S_ABCD=4⋅S_ABO=4⋅BO⋅AO/2=2⋅BO⋅AO

Շեղանկյան մակերեսի բանաձևը՝

Sշեղանկյուն=d1⋅d22

Այս բանաձևը մնում է ուժի մեջ ցանկացած քառանկյան համար, որի անկյունագծերը փոխուղղահայաց են:

Քանի որ քառակուսու անկյունագծերը հավասար են, ապա նրա մակերեսը որոշելու համար բավական է ունենալ անկյունագծերից մեկի երկարությունը՝

S_{քառակուսի}=d²/2

Դասարանական առաջադրանքներ՝314-ա,գ; 315; 317; 319-ա,գ; 320

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 314-բ,դ; 316; 318; 319-բ,դ; 321

.

05.04.2023թ-Բազմանկյան մակերեսը

Դասարանական առաջադրանքներ՝303-ա,գ; 305; 308; 310; 313

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 303-բ,դ; 306; 307; 311; 312

22.03.2023թ

22.03.2023թ-Բազմանկյան մակերեսը

Տեսություն՝

Բազմանկյան մակերեսը

Բազմանկյան մակերեսը հարթության այն մասն է, որը զբաղեցնում է բազմանկյունը:

Մակերեսի չափումը իրականացվում է զբաղեցրած մասի համեմատման միջոցով` չափման որոշ միավորների հետ:

Որպես մակերեսների չափման միավոր ընդունվում է այն քառակուսին, որի կողմը հավասար է հատվածների չափման միավորին: Այսպես, եթե հատվածների չափման միավոր ընդունված է սանտիմետրը, ապա որպես մակերեսների չափման միավոր ծառայում է 1

 սմ կողմով քառակուսին: Այդպիսի քառակուսին կոչվում է քառակուսի սանտիմետր և նշանակվում է սմ2:

Քառակուսու մակերեսը հավասար է նրա կողմի երկարության քառակուսուն:

Անհրաժեշտության դեպքում, մակերեսի չափման մեծ միավորը բաժանվում է փոքր միավորների: Օրինակ՝

1սմ²=10մմ⋅10մմ=100մմ²1մ²=100սմ⋅100սմ=10000սմ²1կմ²=100000սմ⋅100000սմ=10000000000սմ²

Մակերեսի հատկությունները:

1. Հավասար բազմանկյունների մակերեսները հավասար են:

2. Եթե բազմանկյունը կազմված է մի քանի բազմանկյուններից, ապա նրա մակերեսը հավասար է այդ բազմանկյունների մակերեսների գումարին:

Եթե բազմանկյունների մակերեսները հավասար են, իսկ բազմանկյունները հավասար չեն, ապա նրանք կոչվում են հավասարամեծ:

Նկարում բերված են երեք հավասարամեծ ուղղանկյուններ, որոնց մակերեսները հավասար են 12 քառակուսի միավորի:

Դասարանական առաջադրանքներ՝297; 298-ա,գ; 299-ա,գ; 300-ա; 301-ա; 302

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 298-բ; 299-բ; 300-բ; 301-բ

01.03.2023թ-17.03.2023թ

17.03.2023թ-Ինքնուրույն աշխատանք

ԱռաջադրանքներDownload

.

15.03.2023թ-Պատկերացում գլանի,կոնի և գնդի մասին

Տեսություն՝

Պտտման մարմիններ

Գլան

Գլան կարելի է ստանալ՝ պտտելով AA₁O₁O ուղղանկյունը իր կողմերից որևէ մեկի, օրինակ՝ OO1-ի շուրջ: Նույն գլանը կարելի է ստանալ՝ պտտելով AA₁B₁B ուղղանկյունն իր հանդիպակաց կողմերի միջնակետերով անցնող OO₁ ուղղի շուրջ:

OO₁ ուղիղը կոչվում է գլանի առանցք, AA₁-ը և BB₁-ը՝ ծնորդներ:Գլանի H բարձրությունը հավասար է OO₁=AA₁=BB₁ հատվածներից յուրաքանչյուրին:

Պտտման ընթացքում առաջացած երկու շրջանները կոչվում են գլանի հիմքեր:

Գլանի R=OA=OB շառավիղ կոչվում է նրա հիմքի շառավիղը:

Գլանի առանցքով անցնող հարթության և գլանի ընդհանուր մասը կոչվում է գլանի առանցքային հատույթ: Գլանի առանցքային հատույթը ուղղանկյուն է: Վերևի նկարում դա AA₁B1B ուղղանկյունն է:

Գլանի կողմնային մակերևույթի բացվածքը ևս ուղղանկյուն է:

Այդ ուղղանկյան կողմերից մեկը հիմքի շրջանագծի երկարությունն է, իսկ մյուսը՝ գլանի բարձրությունը: Ուրեմն, գլանի կողմնային մակերևույթի մակերեսը հավասար է՝

S_կողմն=2πRH

Եթե սրան գումարենք երկու հիմքերի մակերեսները, ապա կստանանք գլանի լրիվ մակերևույթի մակերեսը՝

S=S_կողմն+2S_հիմք=2πRH+2πR²

Կոն 

Կոնը կարելի է ստանալ՝ պտտելով POA ուղղանկյուն եռանկյունը իր էջերից որևէ մեկի, օրինակ՝ PO-ի շուրջ: Նույն կոնը կստացվի, եթե APB հավասարասրուն եռանկյունը պտտենք PO բարձրության շուրջ:

PO ուղիղը կոչվում է կոնի առանցք, որը պարունակում է կոնի H բարձրությունը:

Կոնի առանցքային հատույթը, որը անցնում է նրա գագաթով, հանդիսանում է PA և PB սրունքներով հավասարասրուն եռանկյուն: PA-ն և PB-ն կոչվում են կոնի ծնորդներ և նշանակվում են l տառով:

Եռանկյան պտույտից առաջացած O կենտրոնով շրջանը կոչվում է կոնի հիմք:

Կոնի շառավիղ կոչվում է նրա հիմքի R=OA=OB շառավիղը:

Կոնի կողմնային մակերևույթի բացվածքը երկրաչափական պատկեր է, որը կոչվում է շրջանի սեկտոր: Այն իրենից ներկայացնում է շրջան, որից դուրս է բերված նրա կենտրոնային անկյունը:

Սեկտորի շառավիղը հավասար է l-ի:

Կոնի կողմնային մակերևույթի մակերեսը հաշվում են S_կողմն=πRl բանաձևով: 

Լրիվ մակերեսը հավասար է՝ S=S_կողմն+S_հիմք=πRl+πR²

Գունդ

Գունդը ստացվում է կիսաշրջանի կամ շրջանի պտույտի միջոցով՝ իր AB տրամագծի շուրջ:

Գնդի մակերևույթը (գնդային մակերևույթը) կոչվում է գնդոլորտ (սֆերա): Գնդոլորտը ստացվում է կիսաշրջանագծի կամ շրջանագծի պտույտի միջոցով:

Գնդոլորտին են պատկանում գնդի բոլոր այն կետերը, որոնց հեռավորությունը գնդի O կենտրոնից հավասար է R շառավղին:

OA-ն, OB-ն և OC-ն, կամ ցանկացած այլ հատված, որը միացնում է գնդոլորտի կետը գնդի կենտրոնի հետ, կոչվում է գնդի շառավիղ:

 Գնդի երկու կետեր միացնող հատվածը, որը անցնում է գնդի կենտրոնով, կոչվում է գնդի տրամագիծ: Վերևի նկարում դա AB հատվածն է:

Կենտրոնով անցնող գնդի հատույթը կոչվում է մեծ շրջան, իսկ գնդոլորտի հատույթը՝ մեծ շրջանագիծ:

Գնդոլորտի մակերեսը հաշվում են հետևյալ բանաձևով՝

S=4πR²

Դասարանական առաջադրանքներ՝259; 261; 263; 289-ա,գ; 290

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 260;262; 264; 289-բ,դ

.

10.03.2023թ-Պատկերացում գլանի,կոնի և գնդի մասին

Դասարանական առաջադրանքներ՝251; 253; 255; 257

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 252;254; 256;258

.

03.03.2023թ-Կանոնավոր բազմանկյուններ

Դասարանական առաջադրանքներ՝243-ա,գ; 244; 248;

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 243-բ,դ; 245;

.

01.03.2023թ-Կանոնավոր բազմանկյուններ

Տեսություն՝

Դասարանական առաջադրանքներ՝236; 239-ա,գ; 240;241-ա,գ; 243-ա,գ

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 237; 238; 239-բ,դ; 241-բ,դ; 243-բ,դ

22.02.2022-24.02.2022թթ

24.02.2023թ-Ինքնաստուգում

.

22.02.2023թ-Ներգծյալ և արտագծյալ շրջանագծեր

Դասարանական առաջադրանքներ՝217-ա,գ; 218; 223; 224-ա,գ

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 217-բ; 220; 222; 224-բ,դ

15.02.2023-17.02.2023թթ

15.02.2023թ-Ներգծյալ և արտագծյալ շրջանագծեր

Տեսություն՝

Արտագծյալ շրջանագիծ

Եթե բազմանկյան բոլոր գագաթները գտնվում են շրջանագծի վրա, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ բազմանկյան արտագծյալ շրջանագիծ:

Շրջանագծի կենտրոնը հավասարահեռ է բազմանկյան բոլոր գագաթներից, հետևաբար այն գտնվում է բազմանկյան կողմերի միջնուղղահայացների հատման կետում:

Ոչ բոլոր բազմանկյուններն ունեն արտագծյալ շրջանագիծ՝ հաճախ բազմանկյան համար գոյություն չի ունենում այնպիսի շրջանագիծ, որը կանցնի բազմանկյան բոլոր գագաթներով:  

Քանի որ եռանկյան կողմերի միջնուղղահայացները հատվում են նույն կետում, ապա ցանկացած եռանկյուն ունի արտագծյալ շրջանագիծ: 

Սուրանկյուն եռանկյան դեպքում, արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյան ներսում (տես ներքևի նկարը):

Ուղղանկյուն եռանկյան դեպքում, արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյան ներքնաձիգի վրա (տես ներքևի նկարը): 

Բութանկյուն եռանկյան դեպքում, արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյունից դուրս (տես ներքևի նկարը):

Ներգծյալ շրջանագիծ

Եթե բազմանկյան բոլոր կողմերը շոշափում են շրջանագիծը, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ բազմանկյան ներգծյալ շրջանագիծ:

Ներգծված շրջանագծի կենտրոնը պետք է հավասարահեռ լինի բազմանկյան կողմերից, այսինքն լինի կիսորդների հատման կետում:

Քանի որ եռանկյան անկյունների կիսորդները հատվում են նույն կետում, ապա ցանկացած եռանկյուն ունի ներգծյալ շրջանագիծ:

Քանի որ, ցանկացած եռանկյան անկյունների կիսորդները հատվում են եռանկյան ներսում, ապա ներգծյալ շրջանագծի կենտրոնը միշտ գտնվում է եռանկյան ներսում:

Բանաձևեր

Հավասարակողմ եռանկյուն

Հավասարակողմ եռանկյան կողմերի միջնուղղահայացները և անկյունների կիսորդները հատվում են միևնույն կետում:  

Ուշադրություն

Հետևաբար, հավասարակողմ եռանկյան արտագծյալ և ներգծյալ շրջանագծերի կենտրոնները համընկնում են: 

Արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը

R=2/3h կամ R=a√3/3, որտեղ h -ը եռանկյան բարձրությունն է, իսկ a -ն՝ կողմը:

Ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը

r=1/3h կամ r=a√6/3 որտեղ h -ը եռանկյան բարձրությունն է, իսկ a -ն՝ կողմը:

Հավասարակողմ եռանկյան բարձրությունը և կողմը կապված են հետևյալ բանաձևով՝ h=a3−−√2

Ուղղանկյուն եռանկյուն

Արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը

R=(1/2)c, որտեղ c -ն ներքնաձիգն է:

Ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը

r=SΔ/p, որտեղ p -ն կիսապարագիծն է:  

Կամայական եռանկյուն

Արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը

R=a⋅b⋅c/4⋅SΔ

Ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը

r=SΔ/p, որտեղ p -ն կիսապարագիծն է:

Դասարանական առաջադրանքներ՝203; 206; 207; 209

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 205; 208;210

03.02.2022թ

03.02.2023թ-Եռանկյան չորս նշանավոր կետերը

Տեսություն՝

Եռանկյան նշանավոր կետերը

Թեորեմ 1: Անկյան կիսորդի ցանկացած կետ հավասարահեռ է անկյան կողմերից:

Թեորեմ 2 (հակադարձ): Եթե անկյան մեջ ընկած կետը հավասարահեռ է անկյան կողմերից, ապա այն ընկած է անկյան կիսորդի վրա: 

Թեորեմ 3: Հատվածի միջնուղղահայացի ցանկացած կետ հավասարահեռ է հատվածի ծայրակետերից:

Թեորեմ 4 (հակադարձ): Եթե կետը հավասարահեռ է հատվածի ծայրակետերից, ապա այն ընկած է հատվածի միջնուղղահայացի վրա:

Եռանկյան առաջին նշանավոր կետը՝ կիսորդների հատման կետը

Թեորեմ 5: Եռանկյան անկյունների կիսորդները հատվում են միևնույն կետում:

AN -ը և BM -ը կիսորդներ են, O -ն նրանց հատման կետն է: 

Արդյո՞ք CK -ն էլ է անկյան կիսորդ: O կետը հավասարահեռ է AB, AC և BA, BC կողմերից: Ուրեմն, այն հավասարահեռ է AC և BC կողմերից: Ըստ թեորեմ 2 -ի, O կետն ընկած է ∡C անկյան կիսորդի վրա:

Այս կետը եռանկյան ներգծյալ շրջանագծի կենտրոնն է և միշտ ընկած է եռանկյան մեջ:

Եռանկյան երկրորդ նշանավոր կետը՝ կողմերի միջնուղղահայացների հատման կետը

Թեորեմ 6: Եռանկյան կողմերի միջնուղղահայացները հատվում են միևնույն կետում:

Դիցուք O կետը AB և BC կողմերի միջնուղղահայացների հատման կետն է: Քանի որ այն հավասարահեռ է A, B և B, C կետերից, ապա, ըստ Թեորեմ 4-ի, այն ընկած է նաև AC կողմի միջնուղղահայացի վրա:

Այս կետը եռանկյան արտագծյալ շրջանագծի կենտրոննէ: Եթե եռանկյունը սուրանկյուն է, ապա կետը ընկած է եռանկյան մեջ, եթե եռանկյունը բութանկյուն է, ապա այն ընկած է եռանկյունից դուրս և, եթե եռանկյունը ուղղանկյուն է, ապա այն ընկած է ներքնաձիգի վրա:

Եռանկյան երրորդ նշանավոր կետը՝ միջնագծերի հատման կետը

Թեորեմ 7: Եռանկյան միջնագծերը հատվում են միևնույն կետում, որը յուրաքանչյուր միջնագիծը բաժանում է 2 : 1 հարաբերությամբ հատվածների՝ հաշված գագաթից:

Միջնակետերի հատման կետն անվանում են եռանկյան ծանրության կենտրոն:

Եռանկյան չորրորդ նշանավոր կետը՝ բարձրությունների հատման կետը

Թեորեմ 8: Եռանկյան բարձրությունները (կամ նրանց շարունակությունները) հատվում են միևնույն կետում:

Բարձրությունների հատման կետն անվանում են եռանկյան օրտոկենտրոն:

Դասարանական առաջադրանքներ՝190; 192; 194

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 191; 193; 197

07.12.2022-21.12.2022թթ

03.02.2023թ-Եռանկյան չորս նշանավոր կետերը

Տեսություն՝

Եռանկյան նշանավոր կետերը

Թեորեմ 1: Անկյան կիսորդի ցանկացած կետ հավասարահեռ է անկյան կողմերից:

Թեորեմ 2 (հակադարձ): Եթե անկյան մեջ ընկած կետը հավասարահեռ է անկյան կողմերից, ապա այն ընկած է անկյան կիսորդի վրա: 

Թեորեմ 3: Հատվածի միջնուղղահայացի ցանկացած կետ հավասարահեռ է հատվածի ծայրակետերից:

Թեորեմ 4 (հակադարձ): Եթե կետը հավասարահեռ է հատվածի ծայրակետերից, ապա այն ընկած է հատվածի միջնուղղահայացի վրա:

Եռանկյան առաջին նշանավոր կետը՝ կիսորդների հատման կետը

Թեորեմ 5: Եռանկյան անկյունների կիսորդները հատվում են միևնույն կետում:

AN -ը և BM -ը կիսորդներ են, O -ն նրանց հատման կետն է: 

Արդյո՞ք CK -ն էլ է անկյան կիսորդ: O կետը հավասարահեռ է AB, AC և BA, BC կողմերից: Ուրեմն, այն հավասարահեռ է AC և BC կողմերից: Ըստ թեորեմ 2 -ի, O կետն ընկած է ∡C անկյան կիսորդի վրա:

Այս կետը եռանկյան ներգծյալ շրջանագծի կենտրոնն է և միշտ ընկած է եռանկյան մեջ:

Եռանկյան երկրորդ նշանավոր կետը՝ կողմերի միջնուղղահայացների հատման կետը

Թեորեմ 6: Եռանկյան կողմերի միջնուղղահայացները հատվում են միևնույն կետում:

Դիցուք O կետը AB և BC կողմերի միջնուղղահայացների հատման կետն է: Քանի որ այն հավասարահեռ է A, B և B, C կետերից, ապա, ըստ Թեորեմ 4-ի, այն ընկած է նաև AC կողմի միջնուղղահայացի վրա:

Այս կետը եռանկյան արտագծյալ շրջանագծի կենտրոննէ: Եթե եռանկյունը սուրանկյուն է, ապա կետը ընկած է եռանկյան մեջ, եթե եռանկյունը բութանկյուն է, ապա այն ընկած է եռանկյունից դուրս և, եթե եռանկյունը ուղղանկյուն է, ապա այն ընկած է ներքնաձիգի վրա:

Եռանկյան երրորդ նշանավոր կետը՝ միջնագծերի հատման կետը

Թեորեմ 7: Եռանկյան միջնագծերը հատվում են միևնույն կետում, որը յուրաքանչյուր միջնագիծը բաժանում է 2 : 1 հարաբերությամբ հատվածների՝ հաշված գագաթից:

Միջնակետերի հատման կետն անվանում են եռանկյան ծանրության կենտրոն:

Եռանկյան չորրորդ նշանավոր կետը՝ բարձրությունների հատման կետը

Թեորեմ 8: Եռանկյան բարձրությունները (կամ նրանց շարունակությունները) հատվում են միևնույն կետում:

Բարձրությունների հատման կետն անվանում են եռանկյան օրտոկենտրոն:

Դասարանական առաջադրանքներ՝190; 192; 194

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 191; 193; 197

.

01.02.2023թ-Եռանկյան չորս նշանավոր կետերը

Դասարանական առաջադրանքներ՝183; 185; 187-ա; 188-ա;

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 184; 186; 187-բ;188-բ

.

21.12.2022թ-Կենտրոնային և ներգծյալ անկյուններ

Դասարանական առաջադրանքներ՝169; 171; 174; 179

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 170; 172; 176; 178

.

14.12.2022թ-Կենտրոնային և ներգծյալ անկյուններ

Տեսություն՝

Դասարանական առաջադրանքներ՝156-ա,գ; 157-ա; 158-ա; 159

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 156-բ,դ; 157-բ;158-բ; 160

.

07.12.2022թ-Շրջանագծի շոշափող

Դասարանական առաջադրանքներ՝146; 148; 151; 154

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 147; 149;150; 153