Երկրաչափություն

18.05.2021 թ.—Պյութագորասի թեորեմը

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 370; 374-ա,գ; 376; 378; 381

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 372; 374-բ; 377; 380; 384-ա

.

11.05.2021 թ.—ՊՅՈՒԹԱԳՈՐԱՍԻ ԹԵՈՐԵՄ

Պյութագորասի թեորեմըՊյութագորաս (մ.թ.ա. 570–490 թ.)՝ հույն մաթեմատիկոս և փիլիսոփա:  

 Պյութագորասի կենսագրության փաստերը հայտնի չեն: Նրա կյանքի մասին կարելի է դատել մյուս հույն փիլիսոփաների ստեղծագործությունների հիման վրա: Նրանց վկայությամբ Պյութագորասը շփվում էր իր ժամանակի ճանաչված մտածողների և գիտնականների հետ: 

Հայտնի է, որ Պյութագորասը երկար ժամանակ անցկացրել է Եգիպտոսում՝ ուսումնասիրելով տեղի ավանդույթներն ու հայտնագործությունները: Մաթեմատիկայում Պյութագորասն ունեցավ մեծ հաջողություններ:

Երկրաչափության ամենահայտնի թեորեմներից է Պյութագորասի թեորեմը, որի հայտնագործությունն ու ապացույցը վերագրվում է Պյութագորասին: 

Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի վրա կառուցված քառակուսու մակերեսը հավասար է նրա էջերի վրա կառուցված քառակուսիների մակերեսների գումարին:  Մաթեմատիկայի պատմության մեջ գոյություն ունեն պնդումներ այն մասին, որ այդ թեորեմը գիտեին դեռևս Պյութագորասից շատ առաջ: Մասնավորապես, եգիպտացիները գիտեին, որ 3, 4 և 5 կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է:   Ներկայումս թեորեմը հնչում է այսպես՝ 

Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է եռանկյան էջերի քառակուսիների գումարին՝ c²=a²+b²

Հայտնի են այս թեորեմի բազմաթիվ ապացույցներ, սակայն ամենաակնառու ապացույցներից մեկը հիմնված է մակերեսների վրա: 

1. Կառուցենք եռանկյան էջերի a+b գումարին հավասար կողմով քառակուսի: Քառակուսու մակերեսը (a+b)_² է: 

2. Եթե տանենք c ներքնաձիգները, ապա կառուցված քառակուսու ներսում կառաջանա ևս քառանկյուն: Քառանկյան բոլոր կողմերը հավասար են c-ի, իսկ անկյունները՝ ուղիղ են: Իրոք, ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը 90° է, հետևաբար քառանկյան անկյունը ևս պիտի լինի 90°, որպեսզի նրանց գումարը հավասար լինի 180° -ի: Այսպիսով, առաջացած քառանկյունը ևս քառակուսի է: Հետևաբար, մեծ քառակուսու մակերեսը բաղկացած է ներսի քառակուսու մակերեսից և չորս հավասար ուղղանկյուն եռանկյունների մակերեսներից: 

3. Մեծ քառակուսու երկու կողմերի վրա տեղերով փոխենք a և b հատվածները, դրանից քառակուսու կողմը չի փոխվի: Հիմա քառակուսու մակերեսը բաղկացած է (a\) և b կողմերով երկու քառակուսիներից և երկու ուղղանկյուններից՝ 

4. Համեմատելով մեծ քառակուսու մակերեսը երկու նկարներում, եզրակացնում ենք, որ՝ 4⋅ab²+c2=a²+2ab+b², որտեղից գալիս ենք պահանջվող հավասարությանը՝ c²=a²+b² 

Օրինակ

Արդյո՞ք 6 սմ, 7 սմ և 9 սմ կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է: Ընտրում ենք մեծ կողմը և ստուգում Պյութագորասի թեորեմի տեղի ունենալը՝ 92=62+72;81≠36+49 

Հետևաբար, եռանկյունը ուղղանկյուն չէ:  

Արդյո՞ք 5 սմ, 12 սմ և 13 սմ կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է: Ընտրում ենք մեծ կողմը և ստուգում Պյութագորասի թեորեմի տեղի ունենալը՝ 132=122+52;169=144+25 

Հետևաբար, եռանկյունը ուղղանկյուն է:

Որպեսզի հաշվարկներ չկատարենք, օգտակար է հիշել Պյութագորասի առավել հաճախ պատահող թվերը՝ էջ, էջ, ներքնաձիգ 3;4;5  6;8;10 12;16;20 5;12;13   

Դիտիր Պյութագորասի թեորեմի ևս մի յուրահատուկ ապացույց: 

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 366-ա,գ; 367-ա,գ; 369-ա,գ;

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 366-բ; 367-բ; 369-բ;

.

07.05.2021 թ.—Սեղանի մակերեսը, խորանարդի,ուղղանկյունանիստի մակերևույթի մակերեսները

Սեղանի մակերեսը

Սեղանի երկու հիմքերը զուգահեռ են, հետևաբար, նրանց միացնող ուղղահայացը սեղանի բարձրությունն է: Սովորաբար բարձրությունը տանում են գագաթից, կամ անկյունագծերի հատման կետով: 

 Բարձրությամբ և անկյունագծով սեղանը բաժանվում է երեք եռանկյունների: Սեղանի մակերեսը հաշվում ենք, որպես այդ եռանկյունների մակերեսների գումար:

 S_ABCD=S_ABD+S_DBC S_ABCD=AD⋅BE/2+BC⋅DF/2=AD⋅BE/2+BC⋅BE/2=(AD+BC)⋅BE/2 Եթե սեղանի զուգահեռ կողմերը (հիմքերը) նշանակենք a և b, իսկ բարձրությունը՝ h, ապա՝ S_սեղան=a+b/2⋅h

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 345-ա; 346; 349; 352-ա; 356-ա; 358

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 345-բ; 348; 350; 352-բ; 356-բ; 359

.

20.04.2021 թ.—Բազմանկյան մակերեսը

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 302; 303-ա,գ; 305; 308; 310

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 303-բ,դ; 306; 307; 309; 312

.

13.04.2021 թ.—Բազմանկյան մակերեսը

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 298-ա,գ; 299-ա,գ; 300-ա; 301-ա;

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 298-բ,դ; 299-բ,դ; 300-բ; 301-բ

.

06.04.2021 թ.—Պատկերացում գլանի, կոնի և գնդի մասին

Տեսություն՝

Գլան

 Գլան կարելի է ստանալ՝ պտտելով AA₁O₁O ուղղանկյունը իր կողմերից որևէ մեկի, օրինակ՝ OO₁-ի շուրջ: Նույն գլանը կարելի է ստանալ՝ պտտելով AA₁B₁B ուղղանկյունն իր հանդիպակաց կողմերի միջնակետերով անցնող OO₁ ուղղի շուրջ: 

 OO₁ ուղիղը կոչվում է գլանի առանցք, AA₁-ը և BB₁-ը՝ ծնորդներ: Գլանի H բարձրությունը հավասար է OO₁=AA₁=BB₁ հատվածներից յուրաքանչյուրին: Պտտման ընթացքում առաջացած երկու շրջանները կոչվում են գլանի հիմքեր: Գլանի R=OA=OB շառավիղ կոչվում է նրա հիմքի շառավիղը:

Գլանի առանցքով անցնող հարթության և գլանի ընդհանուր մասը կոչվում է գլանի առանցքային հատույթ: Գլանի առանցքային հատույթը ուղղանկյուն է: Վերևի նկարում դա AA₁B₁B ուղղանկյունն է:
Գլանի կողմնային մակերևույթի բացվածքը ևս ուղղանկյուն է:

Կոն

 Կոնը կարելի է ստանալ՝ պտտելով POA ուղղանկյուն եռանկյունը իր էջերից որևէ մեկի, օրինակ՝ PO-ի շուրջ: Նույն կոնը կստացվի, եթե APB հավասարասրուն եռանկյունը պտտենք PO բարձրության շուրջ: 

 PO ուղիղը կոչվում է կոնի առանցք, որը պարունակում է կոնի H բարձրությունը:
Կոնի առանցքային հատույթը, որը անցնում է նրա գագաթով, հանդիսանում է PA և PB սրունքներով հավասարասրուն եռանկյուն: 

PA-ն և PB-ն կոչվում են կոնի ծնորդներ և նշանակվում են l տառով: Եռանկյան պտույտից առաջացած O կենտրոնով շրջանը կոչվում է կոնի հիմք: 

Կոնի շառավիղ կոչվում է նրա հիմքի R=OA=OB շառավիղը:

Գունդ

Գունդը ստացվում է կիսաշրջանի կամ շրջանի պտույտի միջոցով՝ իր AB տրամագծի շուրջ:

 Գնդի մակերևույթը (գնդային մակերևույթը) կոչվում է գնդոլորտ (սֆերա): Գնդոլորտը ստացվում է կիսաշրջանագծի կամ շրջանագծի պտույտի միջոցով: Գնդոլորտին են պատկանում գնդի բոլոր այն կետերը, որոնց հեռավորությունը գնդի O կենտրոնից հավասար է R շառավղին:  OA-ն, OB-ն և OC-ն, կամ ցանկացած այլ հատված, որը միացնում է գնդոլորտի կետը գնդի կենտրոնի հետ, կոչվում է գնդի շառավիղ:  Գնդի երկու կետեր միացնող հատվածը, որը անցնում է գնդի կենտրոնով, կոչվում է գնդի տրամագիծ: Վերևի նկարում դա AB հատվածն է:
Կենտրոնով անցնող գնդի հատույթը կոչվում է մեծ շրջան, իսկ գնդոլորտի հատույթը՝ մեծ շրջանագիծ:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 258; 262; 263-ա,գ;

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 260;263-բ,դ;

.

16.03.2021 թ.—Կանոնավոր բազմանկյուններ

Տեսություն՝

Կանոնավոր բազմանկյուններ

Կանոնավոր կոչվում են այն ուռուցիկ բազմանկյունները, որոնց բոլոր կողմերը և անկյունները հավասար են:

Նկարում բերված են կանոնավոր բազմանկյունների օրինակներ՝ եռանկյուն (հավասարակողմ), քառանկյուն (քառակուսի), հնգանկյուն, վեցանկյուն: 

 Եթե կանոնավոր բազմանկյան մեջ տանենք անկյունագծեր, ապա կստացվեն կանոնավոր ոչ ուռուցիկ բազմանկյուններ: 

 Եթե անկյունագծերը տանենք նույն գագաթից, ապա կանոնավոր n-անկյունը կբաժանվի n−2 եռանկյունների: ՈւշադրությունԿանոնավոր n-անկյան ներքին

անկյունների գումարը 180°⋅(n−2) է:

Քանի որ, կանոնավոր n-անկյան բոլոր անկյունները հավասար են, ապա դրանցից մեկի աստիճանային չափը կլինի` 180°⋅(n−2)/n:

Կանոնավոր բազմանկյան ներգծյալ և արտագծյալ շրջանագծերը

Ցանկացած կանոնավոր բազմանկյանը կարելի է ներգծել և արտագծել շրջանագծեր:

Երկու շրջանագծերի կենտրոնները համընկնում են և կոչվում են կանոնավոր բազմանկյան կենտրոն:

Ներգծյալ շրջանագիծը շոշափում է բազմանկյան բոլոր կողմերը նրանց միջնակետերում, արտագծյալ շրջանագիծը անցնում է բազմանկյան բոլոր գագաթներով: 

 ∡AOH=360°/n; ∡AOK=360°/2n=180°/n:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 239-ա,գ,ե; 241-ա,գ; 242-ա,գ,ե

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 239-բ,դ; 241-բ,դ; 242-բ,դ

.

09.03.2021 թ.—Ամփոփում.խնդիրների լուծում

1.d-ն շրջանագծի տրամագիծն է, r-ը՝ շառավիղը և l-ը՝ լարը: Նշիր տրամագծի, շառավղի և լարի վերաբերյալ ճիշտ պնդումը:

• Տրամագիծը լարի ամենամեծ լարի կեսն է:
• Լարը տրամագծի կեսն է:
• Շառավիղը տրամագծի կեսն է:

2.

Տրված է՝ ∢OAC=19°Հաշվիր՝ ∢OBA=° ∢AOC=°

3.

 ∪AB=110° , ∪AC=99° Գտիր BOC և BAC անկյունները: Պատասխան՝ BOC=°, BAC=°

4.Հաշվիր AC և BC լարերի կազմած ACB անկյունը, եթե ∪BmC=159° և ∪AnC=52° Պատասխան՝ ∢ACB=

5.Լարը ուղղահայաց է տրամագծին և այն բաժանում է 2 սմ և 8 սմ երկարությամբ հատվածների: Որոշիր լարի երկարությունը:

6.ABC հավասարասրուն եռանկյան AB և BC կողմերին տարված բարձրությունները հատվում են M կետում: BM ուղիղը AC հիմքը հատում է N կետում: Որոշիր NC, եթե AC=18սմ:

7.KLM եռանկյանը արտագծած է շրջանագիծ, OK=15.2 դմ:

 Հաշվիր՝ ∢LKM=° ∪ML=° ML= դմ

.8.LMN եռանկյանը ներգծած է շրջանագիծ, որը շփման կետերով բաժանվում է՝ ∪AB=110° և ∪BC=120° աղեղների: Հաշվիր եռանկյան անկյունները և CA աղեղի աստիճանային չափը:   

 ∢L=°  ∢M=°  ∢N=°

.

05.02.2021 թ.—Ներգծյալ և արտագծյալ շրջանագծեր

Տեսություն՝

Արտագծյալ շրջանագիծ

Եթե բազմանկյան բոլոր գագաթները գտնվում են շրջանագծի վրա, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ բազմանկյան արտագծյալ շրջանագիծ:

Շրջանագծի կենտրոնը հավասարահեռ է բազմանկյան բոլոր գագաթներից, հետևաբար այն գտնվում է բազմանկյան կողմերի միջնուղղահայացների հատման կետում: Ոչ բոլոր բազմանկյուններն ունեն արտագծյալ շրջանագիծ՝ հաճախ բազմանկյան համար գոյություն չի ունենում այնպիսի շրջանագիծ, որը կանցնի բազմանկյան բոլոր գագաթներով:  Քանի որ եռանկյան կողմերի միջնուղղահայացները հատվում են նույն կետում, ապա ցանկացած եռանկյուն ունի արտագծյալ շրջանագիծ: Սուրանկյուն եռանկյան դեպքում, արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյան ներսում (տես ներքևի նկարը): 

 Ուղղանկյուն եռանկյան դեպքում, արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյան ներքնաձիգի վրա (տես ներքևի նկարը):  

   Բութանկյուն եռանկյան դեպքում, արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյունից դուրս (տես ներքևի նկարը): Ներգծյալ շրջանագիծ

Եթե բազմանկյան բոլոր կողմերը շոշափում են շրջանագիծը, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ բազմանկյան ներգծյալ շրջանագիծ:

Ներգծված շրջանագծի կենտրոնը պետք է հավասարահեռ լինի բազմանկյան կողմերից, այսինքն լինի կիսորդների հատման կետում:Քանի որ եռանկյան անկյունների կիսորդները հատվում են նույն կետում, ապա ցանկացած եռանկյուն ունի ներգծյալ շրջանագիծ:

 Քանի որ, ցանկացած եռանկյան անկյունների կիսորդները հատվում են եռանկյան ներսում, ապա ներգծյալ շրջանագծի կենտրոնը միշտ գտնվում է եռանկյան ներսում:

Բանաձևեր

Հավասարակողմ եռանկյուն

Հավասարակողմ եռանկյան կողմերի միջնուղղահայացները և անկյունների կիսորդները հատվում են միևնույն կետում:   Ուշադրություն

Հետևաբար, հավասարակողմ եռանկյան արտագծյալ և ներգծյալ շրջանագծերի կենտրոնները համընկնում են: Արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը R=2/3h կամ R=a√3/3, որտեղ h -ը եռանկյան բարձրությունն է, իսկ a -ն՝ կողմը: Ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը r=1/3h կամ r=a√3/6 որտեղ h -ը եռանկյան բարձրությունն է, իսկ a -ն՝ կողմը: Հավասարակողմ եռանկյան բարձրությունը և կողմը կապված են հետևյալ բանաձևով՝ h=a√3 /2

Ուղղանկյուն եռանկյուն

Արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը R=1/2c, որտեղ c -ն ներքնաձիգն է: Ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը r=SΔ/p, որտեղ p -ն կիսապարագիծն է:  

 Կամայական եռանկյուն Արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը R=a⋅b⋅c/4⋅SΔ Ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը r=SΔ/p, որտեղ p -ն կիսապարագիծն է:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 200; 202; 205; 207

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 199; 201; 206; 208

.

02.02.2021 թ.—Անցածի կրկնություն

.

18.12.2020 թ.—Ինքնաստուգում

.

15.12.2020 թ.—Եռանկյան 4 նշանավոր կետերը

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 191; 193

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 192; 194

.

11.12.2020 թ.—նախագիծ

.

08.12.2020 թ.—նախագիծ

• 

• 

• 

• 

• 

• 

.

04.12.2020 թ.—Եռանկյան 4 նշանավոր կետերը

Առաջադրանքների փաթեթ

՝

.

01.12.2020 թ.—Եռանկյան 4 նշանավոր կետերը

Տեսություն՝

Եռանկյան նշանավոր կետերը

Թեորեմ 1: Անկյան կիսորդի ցանկացած կետ հավասարահեռ է անկյան կողմերից: 

Թեորեմ 2 (հակադարձ): Եթե անկյան մեջ ընկած կետը հավասարահեռ է անկյան կողմերից, ապա այն ընկած է անկյան կիսորդի վրա: 

Թեորեմ 3: Հատվածի միջնուղղահայացի ցանկացած կետ հավասարահեռ է հատվածի ծայրակետերից:

 Թեորեմ 4 (հակադարձ): Եթե կետը հավասարահեռ է հատվածի ծայրակետերից, ապա այն ընկած է հատվածի միջնուղղահայացի վրա:

Եռանկյան առաջին նշանավոր կետը՝ կիսորդների հատման կետը

Թեորեմ 5: Եռանկյան անկյունների կիսորդները հատվում են միևնույն կետում:

 AN -ը և BM -ը կիսորդներ են, O -ն նրանց հատման կետն է:  Արդյո՞ք CK -ն էլ է անկյան կիսորդ: O կետը հավասարահեռ է AB, AC և BA, BC կողմերից: Ուրեմն, այն հավասարահեռ է AC և BC կողմերից: Ըստ թեորեմ 2 -ի, O կետն ընկած է ∡C անկյան կիսորդի վրա: Այս կետը եռանկյան ներգծյալ շրջանագծի կենտրոնն է և միշտ ընկած է եռանկյան մեջ:

Եռանկյան երկրորդ նշանավոր կետը՝ կողմերի միջնուղղահայացների հատման կետը

Թեորեմ 6: Եռանկյան կողմերի միջնուղղահայացները հատվում են միևնույն կետում:

  Դիցուք O կետը AB և BC կողմերի միջնուղղահայացների հատման կետն է: Քանի որ այն հավասարահեռ է A, B և B, C կետերից, ապա, ըստ Թեորեմ 4-ի, այն ընկած է նաև AC կողմի միջնուղղահայացի վրա: Այս կետը եռանկյան արտագծյալ շրջանագծի կենտրոննէ: Եթե եռանկյունը սուրանկյուն է, ապա կետը ընկած է եռանկյան մեջ, եթե եռանկյունը բութանկյուն է, ապա այն ընկած է եռանկյունից դուրս և, եթե եռանկյունը ուղղանկյուն է, ապա այն ընկած է ներքնաձիգի վրա:

Եռանկյան երրորդ նշանավոր կետը՝ միջնագծերի հատման կետը

Թեորեմ 7: Եռանկյան միջնագծերը հատվում են միևնույն կետում, որը յուրաքանչյուր միջնագիծը բաժանում է 2 : 1 հարաբերությամբ հատվածների՝ հաշված գագաթից: 

Միջնակետերի հատման կետն անվանում են եռանկյան ծանրության կենտրոն:

Եռանկյան չորրորդ նշանավոր կետը՝ բարձրությունների հատման կետը

Թեորեմ 8: Եռանկյան բարձրությունները (կամ նրանց շարունակությունները) հատվում են միևնույն կետում:

Բարձրությունների հատման կետն անվանում են եռանկյան օրտոկենտրոն:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 185; 187; 189;

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 188; 190

.

27.11.2020 թ.—Կենտրոնային և ներգծյալ անկյուններ

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 166; 168; 170; 172; 174; 176

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 167; 169; 171; 173; 177

.

24.11.2020 թ.—Կենտրոնային և ներգծյալ անկյուններ

Տեսություն՝

Կենտրոնային և ներգծյալ անկյուններ

Եթե շրջանագծի վրա վերցնել երկու կետ, ապա շրջանագիծը կբաժանվի երկու աղեղների: Երկու աղեղների ծայրակետերն էլ A և B կետերն են, սակայն մեկը մյուսից երկար է:

 Այդ երկու աղեղներն իրարից տարբերելու համար օգտագործում են նշանակման մի քանի ձև: Ձևերից մեկում օգտագործում են լատիներեն փոքրատառեր՝ ∪AnB: Նաև կարելի է շրջանագծի վրա վերցնել երրորդ միջանկյալ C կետը: Այն կպատկանի աղեղներից մեկին և չի պատկանի մյուսին: Այս դեպքում ∪ACB -ն նշանակում է այն աղեղը, որին պատկանում է C կետը:

 Ցանկացած աղեղ ունի աստիճանային չափ: Մեր դիտարկած երկու աղեղների աստիճանային չափերի գումարը տալիս է լրիվ անկյան չափը՝ 360°: Եթե վերցված կետերը միացնող հատվածը տրամագիծ է, ապա աղեղն անվանում են կիսաշրջանագիծ: Կիսաշրջանագծի աստիճանային չափը 180° է:

Կենտրոնային և ներգծյալ անկյուններ

Այն անկյունը, որի գագաթը շրջանագծի կենտրոնն է, կոչվում է կենտրոնային անկյուն:

 Աղեղի աստիճանային չափը հավասար է համապատասխան կենտրոնային անկյան աստիճանային չափին՝ ∡AOB=∪AB

Այն անկյունը, որի գագաթն ընկած է շրջանագծի վրա, իսկ կողմերը շրջանագիծը հատում են, կոչվում է ներգծյալ անկյուն:

 Ներգծյալ անկյունը չափվում է այն աղեղի կեսով, որի վրա նա հենվում է՝∡ACB=1/2∪AB

1. Նույն աղեղի վրա հենված ներգծյալ անկյունները հավասար են: 

2. Կիսաշրջանագծի վրա հենված ներգծյալ անկյունը 90° է:

        Շրջանագծի հատվող լարերի հատկությունը

 Եթե շրջանագծի երկու լարեր հատվում են, ապա մի լարի հատվածների արտադրյալը հավասար է մյուս լարի հատվածների արտադրյալին: Այս հատկությունն ապացուցվում է եռանկյունների նմանության գաղափարի օգնությամբ՝ ΔCKA∼ΔBKD: Այս գաղափարը կուսումնասիրենք հետագայում: Նշենք, որ ապացույցի հիմքում ընկած է այն փաստը, որ նշված եռանկյունների բոլոր երեք անկյունները համապատասխանաբար հավասար են՝ ∡1 անկյունները նույն աղեղի վրա հենված ներգծյալ անկյուններ են, իսկ ∡2 անկյունները՝ հակադիր են:  Այսպիսով՝ AK⋅KB=CK⋅KD

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 157; 159; 162; 164

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 160; 161; 163; 165

.

20.11.2020 թ.—Շրջանագիծ:Շրջանագծի շոշափող:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 149; 151; 153

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 150; 152; 154

.

17.11.2020 թ.—Շրջանագիծ:Շրջանագծի շոշափող:

Տեսություն՝

Շրջանագծի և ուղղի փոխադարձ դասավորությունը

Շրջանագիծն ու ուղիղը կարող են հատվել, կամ՝ ոչ: Հատվելիս նրանք կարող են ունենալ մեկ կամ երկու ընդհանուր կետեր:  

1. Եթե շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունն ուղղից մեծ է շրջանագծի շառավղից, ապա շրջանագիծն ու ուղիղը ընդհանուր կետեր չունեն: 

2. Եթե շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունն ուղղից փոքր է շրջանագծի շառավղից, ապա շրջանագիծն ու ուղիղն ունեն երկու ընդհանուր կետեր: 

 Այդ դեպքում ուղիղն անվանում են շրջանագծի հատող:

Եթե ուղիղը շրջանագծի հետ ունի երկու ընդհանուր կետեր, ապա այն կոչվում է շրջանագծի հատող:

3. Եթե շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունն ուղղից հավասար է շրջանագծի շառավղին, ապա շրջանագիծն ու ուղիղն ունեն մեկ ընդհանուր կետ: 

 Այդ դեպքում ուղիղն անվանում են շրջանագծի շոշափող:Եթե ուղիղը շրջանագծի հետ ունի մեկ ընդհանուր կետ, ապա այն կոչվում է շրջանագծի շոշափող:

Շրջանագծի շոշափող

Եթե շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունն ուղղից հավասար է շրջանագծի շառավղին, ապա շրջանագիծն ու ուղիղը ունեն մեկ ընդհանուր կետ: 

 Այդ դեպքում ուղիղն անվանում են շրջանագծի շոշափող:

Եթե ուղիղը շրջանագծի հետ ունի մեկ ընդհանուր կետ, ապա այն կոչվում է շրջանագծի շոշափող:

Շրջանագծի շոշափողը ուղղահայաց է շոշափման կետից տարված շառավղին:

 Ենթադրենք, թե OA շառավիղն ուղղահայաց չէ շոշափողին, այլ թեք է: Ապա, O կետից կարելի է տանել ուղղին ուղղահայաց, որը կլինի շառավղից փոքր: Սա նշանակում է, որ շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունն ուղղից ավելի փոքր է, քան շառավիղը, ուրեմն, շրջանագիծն ու ուղիղը պիտի ունենան երկու ընդհանուր կետեր: Սա հակասում է այն փաստին, որ ուղիղը շոշափող է: Հետևաբար, մեր ենթադրությունը սխալ էր:

Եթե միևնույն կետից շրջանագծին տարված են երկու շոշափողներ, ապա
ա) շոշափման կետերի հեռավորությունները տրված կետից հավասար են,

 բ) շրջանագծի կենտրոնով և տրված կետով անցնող ուղիղը կիսում է շոշափողների կազմած անկյունը:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 139-ա,գ; 142; 143; 148

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 139-բ,դ; 145; 146

.

10.11.2020 թ.—Ինքնաստուգում

.

30.10.2020 թ.—Խնդիրների լուծում, կրկնություն:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 106; 109; 123; 124

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 105; 110

.

27.10.2020 թ.—Պատկերացում բազմանիստի մասին:Ուղղանկյունանիստ, խորանարդ, պրիզմա, բուրգ:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 95; 97; 99; 101; 103

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 96; 98; 100; 102

.

23.10.2020 թ.—Պատկերացում բազմանիստի մասին:Ուղղանկյունանիստ, խորանարդ, պրիզմա:

Տեսություն՝

Մինչև հիմա մենք ուսումնասիրում էինք երկրաչափության այն բաժինը, որը կոչվում է հարթաչափություն: Այդ բաժինը հարթ պատկերների (պատկերներ, որոնք ամբողջովին ընկած են որևէ հարթության մեջ) և նրանց հատկությունների վերաբերյալ էր: Սակայն մեզ շրջապատող առարկաները հիմնականում հարթ չեն: Ցանկացած իրական առարկա զբաղեցնում է տարածության մի մասը:  

Երկրաչափության այն բաժինը, որը ուսումնասիրում է պատկերների հատկությունները տարածության մեջ, կոչվում է տարածաչափություն:

Եթե տարածական մարմնի մակերևույթը կազմված է միայն բազմանկյուններից, ապա մարմինը կոչվում է բազմանիստ:

Բազմանկյունները, որոնցից կազմված է բազմանիստի մակերևույթը, կոչվում են նիստեր: Նիստերի կողմերը կոչվում են բազմանիստի կողեր: Կողերի ծայրակետերը կոչվում են բազմանիստի գագաթներ:

Բազմանիստի նույն նիստի վրա չգտնվող երկու գագաթները միացնող հատվածը կոչվում է բազմանիստի անկյունագիծ:

Զուգահեռանիստ

Զուգահեռանիստ կոչվում է այն բազմանիստը, որի բոլոր բազմանկյունները զուգահեռագծեր են:

Զուգահեռանիստի բոլոր նիստերը զուգահեռագծեր են:  

Եթե զուգահեռանիստի երկու նիստեր չունեն ընդհանուր կողեր (ոչ էլ ընդհանուր գագաթներ), ապա դրանք կոչվում են հանդիպակաց նիստեր:  Հանդիպակաց նիստերից երկուսը, օրինակ՝ ABCD-ն և A₁B₁C₁D₁-ը կոչվում են զուգահեռանիստի հիմքեր, իսկ մյուսները՝ կողմնային նիստեր:

Զուգահեռանիստն ունի 2 հիմք, 4 կողմնային նիստ, 12 կող և 8 գագաթ:

Ուղղանկյունանիստ և խորանարդ

Այն զուգահեռանիստը, որի բոլոր նիստերը ուղղանկյուններ են, կոչվում է ուղղանկյունանիստ: 

Ուղղանկյունանիստն ունի 6 նիստ, 12 կող, 8 գագաթ և 4 անկյունագիծ:

Ուղղանկյունանիստի բոլոր չորս անկյունագծերը հավասար են:  

Այն ուղղանկյունանիստը, որի բոլոր կողերը հավասար են, կոչվում է խորանարդ:

Պրիզմա

Դիտարկենք հետևյալ բազմանիստը:   

    Այս բազմանիստի մակերևույթը կազմված է երկու հավասար եռանկյուններից (հիմքեր)՝ ABC և A₁B₁C₁, իսկ մյուս բոլոր նիստերը ուղղանկյուններ են: 

Դիտարկենք ևս մեկ բազմանիստ: 

 Այս բազմանիստի հիմքերը հավասար վեցանկյուններ են, իսկ մյուս բոլոր նիստերը ուղղանկյուններ են: Բազմանիստների բերված երկու օրինակներում հիմքերը հավասար բազմանկյուններ են, իսկ մյուս բոլոր նիստերը ուղղանկյուններ են: Այդպիսի մարմինները կոչվում են ուղիղ պրիզմա: Հավասար բազմանկյունները կոչվում են պրիզմայի հիմքեր:   Ուղղանկյունները կոչվում են կողմնային նիստեր: Ուղիղ պրիզման կոչվում է կանոնավոր, եթե պրիզմայի հիմքերը կանոնավոր բազմանկյուններ են:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 90-ա; 91;92-ա;94-ա

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 90-բ; 92-բ; 94-բ;

.

20.10.2020 թ.—Ուղղանկյուն, շեղանկյուն, քառակուսի

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 68; 70;74;78

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 69; 72; 75; 79

.

16.10.2020 թ.—Ուղղանկյուն, շեղանկյուն, քառակուսի

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 60; 62;64; 67

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 61; 63; 65

.

13.10.2020 թ.—Ուղղանկյուն, շեղանկյուն, քառակուսի

Տեսություն՝

Ուղղանկյուն կոչվում է այն զուգահեռագիծը, որի բոլոր անկյունները ուղիղ են:

 Ուղղանկյան հատկությունները

Քանի որ ուղղանկյունը զուգահեռագիծ է, ապա այն ունի զուգահեռագծի բոլոր հատկությունները:

Շեղանկյուն կոչվում է այն զուգահեռագիծը, որի բոլոր կողմերը հավասար են:

Շեղանկյան հատկությունները

Քանի որ շեղանկյունը զուգահեռագիծ է, ապա այն ունի զուգահեռագծի բոլոր հատկությունները:

Քառակուսի է կոչվում այն ուղղանկյունը, որի բոլոր կողմերը հավասար են:

Քառակուսու հատկությունները

Քառակուսին զուգահեռագիծ է, ուղղանկյուն և շեղանկյուն: Հետևաբար, այն ունի զուգահեռագծի, ուղղանկյան և շեղանկյան բոլոր հատկությունները:

Ուղղանկյան հայտանիշները

 Հայտանիշների միջոցով կարելի է պարզել, թե արդյո՞ք զուգահեռագիծը կամ քառանկյունը ուղղանկյուն է:
1. Եթե քառանկյան երեք անկյունները ուղիղ են, ապա քառանկյունը ուղղանկյուն է:

 2. Եթե զուգահեռագծի անկյուններից որևէ մեկը ուղիղ է, ապա զուգահեռագիծը ուղղանկյուն է: 

3. Եթե զուգահեռագծի անկյունագծերը հավասար են, ապա զուգահեռագիծը ուղղանկյուն է:

Քառակուսու հայտանիշները

Այս հայտանիշների միջոցով կարելի է պարզել, թե արդյո՞ք ուղղանկյունը կամ շեղանկյունը քառակուսի է:

1. Եթե ուղղանկյան երկու կից կողմերը հավասար են, ապա ուղղանկյունը քառակուսի է:

 2. Եթե ուղղանկյան անկյունագծերը փոխուղղահայաց են, ապա ուղղանկյունը քառակուսի է: 

3. Եթե շեղանկյան անկյուններից որևէ մեկը ուղիղ է, ապա շեղանկյունը քառակուսի է: 

4. Եթե շեղանկյան անկյունագծերը հավասար են, ապա շեղանկյունը քառակուսի է:

Շեղանկյան հայտանիշները

 Հայտանիշների միջոցով կարելի է պարզել, թե արդյո՞ք քառանկյունը կամ զուգահեռագիծը շեղանկյուն է:
1. Եթե զուգահեռագծի անկյունագծերը փոխուղղահայաց են, ապա զուգահեռագիծը շեղանկյուն է: 

2. Եթե զուգահեռագծի երկու կից կողմերը հավասար են, ապա զուգահեռագիծը շեղանկյուն է: 

3. Եթե զուգահեռագծի անկյունագծերը նաև անկյունների կիսորդներ են, ապա զուգահեռագիծը շեղանկյուն է:

 4. Եթե քառանկյան բոլոր կողմերը հավասար են, ապա քառանկյունը շեղանկյուն է:  

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 54;56;59

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 55; 57; 58

.

09.10.2020 թ.—Թալեսի թեորեմը: Սեղան

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 42; 44; 49

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 43;46; 50

.

29.09.2020 թ.—Թալեսի թեորեմը: Սեղան

Տեսություն

Թալեսի թեորեմը

Եթե անկյան կողմերը հատող զուգահեռ ուղիղները անկյան մի կողմի վրա անջատում են հավասար հատվածներ, ապա նրանք անկյան մյուս կողմի վրա ևս անջատում են հավասար հատվածներ:Թալեսի թեորեմը օգտագործում են տրված հատվածը մի քանի հավասար մասերի բաժանելու համար: 

 Պետք է AB հատվածը բաժանել 7 հավասար մասերի:  

Գծենք անկյուն, որի մի կողմի վրա ընկած է AB հատվածը: BC կողմը գծենք վանդակների միջոցով՝ հորիզոնական ուղղությամբ: Վանդակները օգտագործում ենք կողմը 7 հավասար մասերի բաժանելու համար՝ BD=DE=EF=FG=GH=HJ=JC:

Երկու հատվածների ծայրակետերը միացնում ենք և ստանում AC հատվածը: J,H,G,F,E,D կետերից տանենք AC -ին զուգահեռ 7 ուղիղներ (նորից օգտագործում ենք վանդակները): Եթե BD=DE=EF=FG=GH=HJ=JC և AC∥JK∥HL∥GM∥FN∥EP∥DR, ապա, ըստ Թալեսի թեորեմի՝ BR=RP=PN=NM=ML=LK=KA: *Թեորեմը կոչվում է հին հույն գիտնական Թալես Միլեթացու (մ.թ.ա. մոտ 625-547 թթ.) անունով:

Եռանկյան միջին գիծը

Եռանկյան երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածը կոչվում է այդ եռանկյան միջին գիծ:Միջին գիծը զուգահեռ է եռանկյան կողմերից մեկին և հավասար է նրա կեսին: 

 EF∥AC EF=AC/2 Համոզվելու համար, որ պնդումը տեղի ունի, պետք է հիշել Թալեսի թեորեմը:  Ցանկացած եռանկյուն ունի երեք միջին գիծ: 

Միջին գծերն են՝ DE -ն, EF -ը և DF -ը:

Եռանկյան միջին գիծըԵռանկյան երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածը կոչվում է այդ եռանկյան միջին գիծ:Միջին գիծը զուգահեռ է եռանկյան կողմերից մեկին և հավասար է նրա կեսին: 

 EF∥ACEF=AC2 Համոզվելու համար, որ պնդումը տեղի ունի, պետք է հիշել Թալեսի թեորեմը:  Ցանկացած եռանկյուն ունի երեք միջին գիծ: 

Միջին գծերն են՝ DE -ն, EF -ը և DF -ը:

,

Սեղան

Սեղան է կոչվում այն քառանկյունը, որի երկու կողմերը զուգահեռ են, իսկ մյուս երկուսը զուգահեռ չեն:

 Սեղանի զուգահեռ կողմերը կոչվում են հիմքեր:AD -ն և BC -ն սեղանի հիմքերն են:  Սեղանի կողմերը, որոնք զուգահեռ չեն, կոչվում են սրունքներ:AB -ն և CD -ն սեղանի սրունքներն են:   Կան սեղանի մի քանի տեսակներ: Հաճախ դիտարկվում են ուղղանկյուն և հավասարասրուն սեղանները:Ուղղանկյուն սեղան

Սեղանը կոչվում է ուղղանկյուն սեղան, եթե նրա սրունքներից որևէ մեկը ուղղահայաց է հիմքերին:Հավասարասրուն սեղան

Սեղանը, որի սրունքները հավասար են, կոչվում է հավասարասրուն սեղան:Սեղանի հատկություններըՍեղանի ներքին անկյունների գումարը (ցանկացած քառանկյան) 360° է: Ցանկացած սեղանի սրունքին առընթեր անկյունների գումարը 180° է: 

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 33; 35; 38; 41

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 34;36; 40

.

25.09.2020 թ.—Զուգահեռագիծ

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 24; 26-ա; 29

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 25; 26-գ; 30

.

22.09.2020 թ.—Զուգահեռագիծ

Տեսություն

Զուգահեռագիծ կոչվում է այն քառանկյունը, որի հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ զուգահեռ են:

Զուգահեռագծի հատկությունները1. Զուգահեռագծի հանդիպակաց կողմերը հավասար են՝ AB=DC, BC=AD

2. Զուգահեռագծի հանդիպակաց անկյունները հավասար են՝ ∢A=∢C, ∢B=∢D

3. Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատման կետով կիսվում են՝ BO=OD, AO=OC

4. Զուգահեռագիծը անկյունագծով բաժանվում է երկու հավասար եռանկյունների՝ ABC և CDA եռանկյունները հավասար են:

5. Զուգահեռագծի յուրաքանչյուր կողմին առընթեր անկյունների գումարը 180 աստիճան է՝ ∢A+∢D=180°

6. Անկյունագծի խաչադիր անկյունները հավասար են՝ ∢BAC=∢ACD,∢BCA=∢CAD

Զուգահեռագծի հայտանիշները

Զուգահեռագծի հայտանիշները

թույլ են տալիս պարզելու, թե արդյո՞ք տրված քառանկյունը զուգահեռագիծ է:
1. Եթե քառանկյան երկու կողմերը հավասար են և զուգահեռ, ապա քառանկյունը զուգահեռագիծ է: 
2. Եթե քառանկյան հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ հավասար են, ապա քառանկյունը զուգահեռագիծ է: 

3. Եթե քառանկյան անկյունագծերը հատվում և հատման կետով կիսվում են, ապա քառանկյունը զուգահեռագիծ է: 

Զուգահեռագծի բարձրություն

a և b ուղիղները կոչվում են զուգահեռ, եթե նրանք չեն հատվում: Զուգահեռ ուղիղները նշանակում են այսպես՝  a||b

Զուգահեռ ուղիղների միջև հեռավորություն կոչվում է նրանց ընդհանուր ուղղահայացի երկարությունը: Այս նկարում դա AB հատվածն է:

Հեռավորությունը զուգահեռ ուղիղների միջև միշտ նույնն է: Ուղղահայացը կարելի է տանել ցանկացած կետից՝ որտեղից հարմար է:
Ոչ զուգահեռ ուղիղների միջև հեռավորությունը չի սահմանվում: Երկրաչափական պատկերներում ուղղահայացը սովորաբար տարվում է պատկերի գագաթից:

 Զուգահեռագծի հանդիպակաց կողմերը զուգահեռ են: Հետևաբար, կարելի է սահմանել հեռավորությունը նրանց միջև:Զուգահեռագծի գագաթից հանդիպակաց կողմին տարված ուղղահայացը կոչվում է զուգահեռագծի բարձրություն: Զուգահեռագծի մի գագաթից կարելի է տանել երկու բարձրություն: Վերևի նկարում զուգահեռագծի BK բարձրության երկարությունը հավասար է BC և AD զուգահեռ կողմերի միջև հեռավորությանը, իսկ BF բարձրության երկարությունը՝ AB և DC զուգահեռ կողմերի միջև հեռավորությանը:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 16-ա;17;19; 22

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 16-բ; 18; 20; 23

.

18.09.2020 թ.—Բազմանկյուններ

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 5;8;11; 13

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 3; 6; 10; 12

.

.

15.09.2020 թ.—Բազմանկյուններ

Տեսություն

Բեկյալ

Կետերից և դրանք միացնող հատվածներից բաղկացած պատկերը կոչվում է բեկյալ: Կետերը կոչվում են բեկյալի հանգույցներ, իսկ հատվածները՝ օղեր:

Բեկյալների տեսակներ

Բեկյալը կոչվում է փակ, եթե նրա առաջին և վերջին հանգույցները համընկնում են:

 Բեկյալը կոչվում է բաց, եթե նրա առաջին և վերջին հանգույցները չեն համընկնում:  

Բեկյալը կոչվում է պարզ, եթե այն չունի ինքնահատումներ: Վերևի երկու բեկյալներն էլ պարզ են: Հետևյալ բեկյալը պարզ չէ:

  

Բազմանկյուն

Բազմանկյուն կոչվում է պարզ փակ բեկյալից և նրանով սահմանափակված տիրույթից բաղկացած պատկերը: Բեկյալի հանգույցները կոչվում են բազմանկյան գագաթներ, իսկ օղերը՝ կողմեր: Երկու ոչ հարևան գագաթները (որոնք չեն գտնվում նույն կողմի վրա) միացնող հատվածը կոչվում է բազմանկյան անկյունագիծ:

   A, B, C, D, E՝ գագաթներ,
AB, BC, CD, DE, AE՝ կողմեր,
AC, AD, BE, BD, CE՝ անկյունագծեր:  Յուրաքանչյուր քազմանկյուն հարթությունը բաժանում է երկու մասի, որոնցից մեկը կոչվում է բազմանկյան ներքին տիրույթ, իսկ երկրորդը՝ արտաքին տիրույթ:

Ուռուցիկ բազմանկյուններ

Բազմանկյունը, որի բոլոր անկյունները 180°-ից փոքր են, կոչվում է ուռուցիկ բազմանկյուն:Ներքևի ABCDE հնգանկյունը ուռուցիկ է:  

Ուռուցիկ n-անկյան անկյունների գումարը

Ընդհանուր դեպքում, բազմանկյունը կարելի անվանել n-անկյուն, եթե այն ունի n հատ կողմ, n հատ անկյուն և n հատ գագաթ:

Ուռուցիկ n-անկյան անկյունների գումարը հավասար է 180°⋅(n−2)-ի:

Ցանկացած բազմանկյուն կարելի է բաժանել եռանկյունների: Այդպես է արված վերևի նկարում: Եռանկյունների թիվը 2 -ով քիչ է բազմանկյան կողմերի թվից: Եռանկյունների կողմերը բազմանկյան կողմեր և անկյունագծեր են: Ցանկացած եռանկյան ներքին անկյունների գումարը 180° է: Հետևաբար, ուռուցիկ n-անկյան անկյունների գումարը 180°⋅(n−2) է:

Օրինակ

Հաշվենք ներքևի տասնմեկանկյան անկյունների գումարը: 

Նկարը կարելի էր նույնիսկ չգծել, այլ օգտվել բանաձևից: Կիրառելով բանաձևը, ստանում ենք՝
180°⋅(n−2)=180°⋅(11−2)=180°⋅9=1620°

Կանոնավոր բազմանկյուններ

Այն ուռուցիկ բազմանկյունը, որի բոլոր կողմերը և անկյունները հավասար են, կոչվում է կանոնավոր բազմանկյուն:Կանոնավոր եռանկյունը հավասարակողմ եռանկյունն է: Կանոնավոր քառանկյունը քառակուսին է:

Քառանկյուններ

Բազմանկյունը կոչվում է քառանկյուն, եթե այն ունի 4 կողմ:Քառանկյունն ունի 4 կողմ, 4 գագաթ, 4 անկյուն, 2 անկյունագիծ: Քառանկյան ոչ կից կողմերը կոչվում են հանդիպակաց: Ուռուցիկ բազմանկյան անկյունների գումարի բանաձևի մեջ n-ի փոխարեն 4 տեղադրելով, ստանում ենք հետևյալ պնդումը:

Ուռուցիկ քառանկյան անկյունների գումարը հավասար է 360°-ի:

Դասարանական առաջադրանքներDownload

Լրացուցիչ առաջադրանքներDownload

Հանրահաշիվ

19.05.2021 թ. — ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ ՏԵՍՔԻ ՔԱՌԱԿՈՒՍԱՅԻՆ ՀԱՎԱՍԱՐՄԱՆ ԼՈՒԾՈՒՄԸ,ՎԻԵՏԻ թեորեմը

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 608-ա,գ; 609-ա,գ; 611-ա,գ; 634-ա,գ; 636-բ,դ

Տնային առաջադրանքներ՝ 608-բ,դ; 609-բ,դ; 611-բ,դ;634-բ,դ;636-բ,դ

.

17.05.2021 թ. — ԹԵՐԻ ՔԱՌԱԿՈՒՍԱՅԻՆ ՀԱՎԱԱՐՈՒՄՆԵՐ,ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ ՏԵՍՔԻ ՔԱՌԱԿՈՒՍԱՅԻՆ ՀԱՎԱՍԱՐՄԱՆ ԼՈՒԾՈՒՄԸ

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 591-594 ա,գ,ե; 605-606-ա,գ

Տնային առաջադրանքներ՝ 591-594-բ,դ; 605-606-բ,դ

.

12.05.2021 թ. — ՔԱՌԱԿՈՒՍԱՅԻՆ ՀԱՎԱՍԱՐՄԱՆ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆԸ

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 573-ա,գ; 575-ա,գ; 576-ա; 581-ա,գ; 584-ա,գ

Տնային առաջադրանքներ՝ 573-բ,դ; 574-բ,դ; 575-բ,դ; 581-բ,դ; 584-բ,դ

.

10.05.2021 թ. —ՔԱՌԱԿՈՒՍԱՅԻՆ ԵՌԱՆԴԱՄ.ՆՐԱ ՎԵՐԼՈՒԾՈՒՄԸ ԳԾԱՅԻՆ ԱՐՏԱԴՐԻՉՆԵՐԻ

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 563-ա,գ, ե; 568-ա,գ,ե; 569-ա;

Տնային առաջադրանքներ՝ 563-բ,դ,զ; 568-բ,դ,զ; 569-բ; 573-բ,դ; 574-բ,դ; 575-բ,դ

.

05.05.2021 թ. —ՔԱՌԱԿՈՒՍԻ ԱՐՄԱՏ ՊԱՐՈՒՆԱԿՈՂ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ և ԱՆՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ

Տեսություն՝

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 543-ա, ե; 544-ա; 550-ա,գ; 552-ա,գ; 554-ա,գ; 555-ա,գ

Տնային առաջադրանքներ՝ 543-բ,դ; 544-բ; 550-բ,դ; 552-բ,դ; 554-բ,դ; 555-բ,դ

.

28.04.2021 թ. —ԹՎԱԲԱՆԱԿԱՆ ՔԱՌԱԿՈՒՍԻ ԱՐՄԱՏՆԵՐԻ ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

Տեսություն՝

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 506-ա,գ, ե; 509-ա,գ; 512-ա,գ, ե; 513-ա,գ,ե,է; 514-ա,գ,ե,է,թ; 515-ա,գ,ե,է,թ

Տնային առաջադրանքներ՝ 506-515-մն.

.

26.04.2021 թ. —ԹՎԱԲԱՆԱԿԱՆ ՔԱՌԱԿՈՒՍԻ ԱՐՄԱՏ

Տեսություն՝

Տրված a թվից թվաբանական քառակուսի արմատ կոչվում է այն ոչ բացասական թիվը, որի քառակուսին հավասար է տրված a թվին:

Նշանակում ենք այսպես՝ √a Կարդում ենք՝ a թվից քառակուսի արմատ:  a -ն թիվն անվանում են արմատատակ թիվ:   

Բացասական թվից քառակուսի արմատ գոյություն չունի:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 485-ա,գ, ե; 486-ա,գ, ե,է,թ; 487-ա,գ, ե; 490-ա,գ; 491-ա; 493-ա,գ,ե

Տնային առաջադրանքներ՝ 485-493-մն.

.

21.04.2021 թ. —y=x² ֆունկցիայի հատկությունները և գրաֆիկԸ, ՔԱՌԱԿՈՒՍԻ ԱՐՄԱՏԻ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆԸ,

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 470-ա,գ; 472; 474-ա,գ; 477-ա,գ; 481-ա,գ,ե,է;

Տնային առաջադրանքներ՝ 470-բ,դ; 474-բ,դ; 477-բ,դ; 481-բ,դ,զ;

.

19.04.2021 թ. —y=x² ֆունկցիայի հատկությունները և գրաֆիկը

Տեսանյութ՝

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 465-ա,գ; 467-ա,գ; 468-ա,գ; 470-ա,գ; 472

Տնային առաջադրանքներ՝ 465-բ,դ; 467-բ,դ; 468-բ,դ; 470-բ,դ;

.

12.04.2021 թ.—Ֆլեշմոբյան խնդիրների քննարկում

Ֆլեշմոբի 2-րդ մակարդակի խնդիրների քննարկում

.

09.04.2021 թ. —ՄՈԴՈՒԼԻ ՆՇԱՆ ՊԱՐՈՒՆԱԿՈՂ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ և ԱՆՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄԸ

Տեսանյութ՝

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 444-գ,թ; 446-ա,գ; 447-ա,գ; 449-ա,գ

Տնային առաջադրանքներ՝ 446-բ,դ; 447-բ,դ; 449-բ,դ

.

.

07.04.2021 թ. —ՄԵԿ ԱՆՀԱՅՏՈՎ ԳԾԱՅԻՆ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ՀԱՄԱԽՄԲԵՐ

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 443-ա,գ; 444-ա,գ,ե,է,թ;

Տնային առաջադրանքներ՝ 443-բ; 444-բ,դ,զ,ը,ժ;

.

05.04.2021 թ. —ՄԵԿ ԱՆՀԱՅՏՈՎ ԳԾԱՅԻՆ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐ

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 438-ա,գ,ե,է; 439-ա,գ; 440-ա,գ; 441-ա; 442 -ա,գ;

Տնային առաջադրանքներ՝ 438-բ,դ,զ; 439-բ,դ; 440-բ,դ; 441-բ; 442 -բ,դ;

.

31.03.2021 թ. —ՄԵԿ ԱՆՀԱՅՏՈՎ ԳԾԱՅԻՆ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐ

Տեսություն՝

Անհավասարումների համակարգը բաղկացած է մեկ կամ մի քանի անհավասարումներից: Այդ անհավասարումները միավորվում են ձևավոր փակագծով: Պետք է գտնել այդ անհավասարումների բոլոր ընդհանուր լուծումները: 

Փոփոխականի այն արժեքները, որոնց դեպքում համակարգի անհավասարումներից յուրաքանչյուրը վերածվում է ճիշտ անհավասարության, կոչվում են անհավասարությունների համակարգի լուծումներ: 

 Գծային անհավասարումների համակարգը լուծելու համար, պետք է լուծել համակարգի յուրաքանչյուր անհավասարումը և այնուհետև գտնել ստացված լուծումների բազմությունների ընդհանուր մասը (հատումը): Դա էլ հենց կլինի համակարգի բոլոր լուծումների բազմությունը:

Լուծել համակարգը՝ նշանակում է գտնել նրա բոլոր լուծումները:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 431-ա,գ; 432-ա,գ; 433-ա,գ; 434-ա,գ; 436 -ա,գ;

Տնային առաջադրանքներ՝ 431-բ,դ; 432-բ,դ; 433-բ,դ; 434-բ,դ; 436 -բ,դ;

.

29.03.2021 թ. —ՈՉ ԽԻՍՏ ԳԾԱՅԻՆ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄԸ

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 419-ա,գ; 420-ա; 422-ա,գ; 423-գ; 425 -ա,գ; 426-ա

Տնային առաջադրանքներ՝ . 419-բ,դ; 420-բ; 422-բ,դ; 423-բ; 425 -բ,դ; 426-բ

.

19.03.2021 թ. —ՈՉ ԽԻՍՏ ԳԾԱՅԻՆ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄԸ

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 406-ա,գ,ե; 408-ա; 413-ա,գ; 414-ա,գ; 418-ա,գ,ե;

Տնային առաջադրանքներ՝ .406-բ,դ,զ; 408-բ; 413-բ,դ; 414-բ,դ; 418-բ,դ,զ;

.

17.03.2021 թ. —ԱՌԱՋԻՆ ԱՍՏԻՃԱՆԻ ՄԵԿ ԱՆՀԱՅՏՈՎ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 394-ա,գ,ե; 396-ա,գ,ե; 397-ա,գ,ե; 400-ա,գ,ե; 401-ա,գ,ե;

Տնային առաջադրանքներ՝ .394-բ,դ,զ; 396-բ,դ,զ; 397-բ,դ,զ; 400-բ,դ,զ; 401-բ,դ,զ;

.

15.03.2021 թ. —ԱՌԱՋԻՆ ԱՍՏԻՃԱՆԻ ՄԵԿ ԱՆՀԱՅՏՈՎ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ

Տեսություն՝

kx−b>0 կամ kx−b<0 տեսքի անհավասարումները, որտեղ k -ն և b -ն տրված թվեր են, ընդ որում k≠0, անվանում են առաջին աստիճանի մեկ x անհայտով անհավասարումներ:

Օրինակ

a−5>0 a>5 Պատասխան՝a∈(5;+∞)

−2y−100<0 −2y<100|:(−2) (անհավասարության նշանը փոխվում է) y>100:(−2) y>−50 Պատասխան՝y∈(−50;+∞)

−3c≥−15|:(−3)(անհավասարության նշանը փոխվում է)c≤−15:(−3)c≤5Պատասխան՝ c∈(−∞;5]

Ուշադրություն

Երբ թիվը կամ փոփոխականը անհավասարման մի մասից տեղափոխվում է մյուս մասը, ապա նրա նշանը փոխվում է:

kx−b≥0 կամ  kx−b≤0 տեսքի անհավասարումները, որտեղ k -ն և b -ն տրված թվեր են, ընդ որում  k≠0, անվանում են մեկ  x անհայտով առաջին աստիճանի ոչ խիստ անհավասարումներ:

Օրինակ

x−3≥0

x≥3

Պատասխան՝x∈[3;+∞)

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 384-ա,գ,զ; 386-ա,դ,ը,լ; 388-ա,դ;393-ա,գ;

Տնային առաջադրանքներ՝ .384-բ,դ,թ; 386-բ,է,ժ,ի; 388-բ,ե;393-մնաց.

.

12.03.2021 թ. —ՄԻՋԱԿԱՅՔԵՐԻ ՊԱՏԿԵՐՈՒՄԸ ԹՎԱՅԻՆ ՈՒՂՂԻ ՎՐԱ

Դասարանական առաջադրանքներ՝ մինչև 381

Տնային առաջադրանքներ՝ . մինչև 381-մնաց”

.

10.03.2021 թ. —ՄԻՋԱԿԱՅՔԵՐԻ ՊԱՏԿԵՐՈՒՄԸ ԹՎԱՅԻՆ ՈՒՂՂԻ ՎՐԱ

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 372-ա,գ,ե,է; 373-ա,գ;374-ա,գ,ե,է;375-ա,գ,ե,է; 376

Տնային առաջադրանքներ՝ . 372-մնաց;373-մնաց; 374-մնաց;375-մն;377

.

17.02.2021 թ. —Իրական թվերի համեմատումը

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 310-ա,գ,ե,է; 310-ա,գ,ե,է;321-ա,գ,ե,է;322; 323

Տնային առաջադրանքներ՝ . 310-մնաց;311-մնաց; 321-մնաց;322-323-մնաց

:

10.02.2021 թ. —Իրական թվեր: Պարբերական տասնորդական կոտորակներ:

Տեսություն՝

Մենք գիտենք, որ ցանկացած ռացիոնալ թիվ ներկայացվում է անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակների տեսքով՝

4=4,000…=4,(0)

5/4=1,25=1,25000…=1,25(0)

7/22=0,3181818…=0,3(18)

7,3777=7,37770000…=7,3777(0)

Սակայն, կան անվերջ տասնորդական կոտորակներ, որոնք պարբերական չեն:Օրինակ

0,10110111… (յուրաքանչյուր 0-ից հետո 1-երի թիվը մեկով ավելանում է),

−17,1234567891011121314… (ստորակետից հետո գրված են բոլոր բնական թվերը):Կան նաև երկրաչափությունից հայտնի անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակներ:

Եթե ցանկացած շրջանագծի երկարությունը բաժանել նրա տրամագծի վրա, ապա քանորդում ստացվում է իռացիոնալ թիվ: Այդ թիվը հանրահայտ π=3,1415926535897932… թիվն է (π-ն հունարեն այբուբենի տառ է, կարդացվում է «պի»):

π թվի իռացիոնալությունը ապացուցվել է գերմանացի մաթեմատիկոս Ի.Լամբերտի կողմից 1766 թվականին:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 272-ա,գ,ե; 273-ա,գ; 274-բ; 275-ա,գ; 277-բ

Տնային առաջադրանքներ՝ .272-բ,դ,զ; 273-բ,դ; 274-գ; 275-բ,դ;277-գ

.

08.02.2021 թ. —Ռացիոնալ արտահայտությունների նույնական հավասարությունը

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 246-ա,գ; 250-բ; 251-բ;260-բ

Տնային առաջադրանքներ՝ . 246-բ,դ;250-գ; 251-գ;260-ա

.

03.02.2021 թ. —Ռացիոնալ արտահայտությունների նույնական հավասարությունը

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 241-ա; 242-ա; 245-բ;

Տնային առաջադրանքներ՝ .241-բ; 242-բ; 245-գ;

.

01.02.2021 թ. —Անցածի կրկնություն

.

23.12.2020 թ. —Ռացիոնալ արտահայտությունների ձևափոխություններ

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 232-ա,գ,ե; 233-ա

Տնային առաջադրանքներ՝ .232-բ,դ,զ; 233-բ

.

16.12.2020 թ. —Ռացիոնալ արտահայտության թվային արժեքը

Ռացիոնալ արտահայտություն կոչվում է այն արտահայտությունը, որում մի քանի հանրահաշվական կոտորակներ միացված են թվաբանական գործողությունների նշաններով:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 214-ա; 216-ա,գ; 220-բ,գ; 221-բ; 222-բ

Տնային առաջադրանքներ՝ .214-բ; 216-բ,դ; 220-ա,դ; 221-ա,գ;222-ա

.

14.12.2020 թ. —Ռացիոնալ արտահայտություններ, ռացիոնալ արտահայտության թվային արժեքը

Ռացիոնալ արտահայտություն կոչվում է այն արտահայտությունը, որում մի քանի հանրահաշվական կոտորակներ միացված են թվաբանական գործողությունների նշաններով:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 203-ա,դ; 209-ա,գ; 211-բ; 213-գ;

Տնային առաջադրանքներ՝ .203-մնաց.;207; 209-բ,դ; 211-ա,գ;213-ա

.

09.12.2020 թ. —Թվաբանական գործողություններ հանրահաշվական կոտորակների հետ

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 188-190-ա,դ; 191-բ; 193-գ

Տնային առաջադրանքներ՝ 188-190-բ,գ; 191-ա; 193-բ

.

07.12.2020 թ. —Թվաբանական գործողություններ հանրահաշվական կոտորակների հետ

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 181-186-ա,գ;

Տնային առաջադրանքներ՝ 181-186 մնացած

.

02.12.2020 թ. —Թվաբանական գործողություններ հանրահաշվական կոտորակների հետ

Տեսություն՝

Հավասար հայտարարներով կոտորակների գումարման և հանման ժամանակ՝ գումարվում կամ հանվում են նրանց համարիչները, իսկ հայտարարները մնում են անփոփոխ:

Կոտորակը կոտորակով բազմապատկելու համար պետք է համարիչը բազմապատկել համարիչով, իսկ հայտարարը՝ հայտարարով և առաջին արտադրյալը գրել համարիչում, իսկ երկրորդը՝ հայտարարում:

Որպեսզի բազմապատկել կոտորակները, որոնց համարիչները և հայտարարները բազմանդամներ են, պետք է՝ այդ բազմանդամները վերլուծել արտադրիչների (եթե հնարավոր է),

• համարիչը բազմապատկել համարիչով, իսկ հայտարարը՝ հայտարարով,
• համարիչների արտադրյալը բաժանել հայտարարների արտադրյալի վրա:

Որպեսզի մի կոտորակ բաժանել մյուսի վրա, պետք է համարիչի կոտորակը բազմապատկել հայտարարի կոտորակի հակադարձ կոտորակով:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 171-ա,գ; 172-ա,գ; 173-ա,գ; 174-ա,դ; 175-ա,դ;

Տնային առաջադրանքներ՝ 171-175 մն:

.

30.11.2020 թ. —Հանրահաշվական կոտորակները ընդհանուր հայտարարի բերելը

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 166;167;168

Տնային առաջադրանքներ՝ 166-168 մն:

.

25.11.2020 թ. —Հանրահաշվական կոտորակները ընդհանուր հայտարարի բերելը

Տեսություն՝

Կոտորակների ընդհանուր հայտարարը բոլոր կոտորակների հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է (ամենափոքր թիվը, որը բաժանվում է բոլոր հայտարարների վրա):

Եթե կոտորակների հայտարարներն իրարից տարբեր բազմանդամներ են, ապա այդպիսի կոտորակները գումարելու կամ հանելու համար պետք է՝

•  գտնել ընդհանուր հայտարարը,
•  կոտորակները բերել ընդհանուր հայտարարի,
•  կատարել գումարումը կամ հանումը,
•  հնարավորինս կրճատել ստացված կոտորակը:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 163-ա,գ,ե,թ; 164-ա,գ,զ,ը; 165-ա,գ;

Տնային առաջադրանքներ՝ 163-165մն.;

.

23.11.2020 թ. —Հանրահաշվական կոտորակներ և նրանց հատկությունները

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 153-ա,գ,ե,թ; 154-ա,գ,զ,ը; 155-ա,գ; 157-բ,դ;159-ա,դ,ե

Տնային առաջադրանքներ՝ 153-159 մն.;

.

18.11.2020 թ. —Հանրահաշվական կոտորակներ և նրանց հատկությունները

Տեսություն՝

Թվային արտահայտությունը կազմվում է թվերից, թվաբանական գործողությունների նշաններից և փակագծերից:

Թվային արտահայտության գործողությունների արդյունքում ստացված թիվը կոչվում է թվային արտահայտության արժեք:

Ուշադրություն

Եթե արտահայտության մեջ պատահում է բաժանում զրոյի վրա, ապա այդ արտահայտությունն արժեք (իմաստ) չունի: Զրոյի վրա բաժանել չի կարելի:  

Եթե թվային արտահայտությունը պարունակում է նաև տառեր (կամ միայն տառեր), ապա այն կոչվում է հանրահաշվական արտահայտություն:

Հանրահաշվական կոտորակ կոչվում է A/B տեսքի արտահայտությունը, որտեղ A-ն որևէ բազմանդամ է, իսկ B-ն՝ ոչ զրոյական բազմանդամ:

Մեկ փոփոխականով արտահայտության որոշման տիրույթ կոչվում է փոփոխականի բոլոր այն արժեքների բազմությունը, որոնց համար արտահայտությունն իմաստ (արժեք) ունի:   

Հանրահաշվական կոտորակների հիմնական հատկությունը

Հանրահաշվական կոտորակի արժեքը չի փոխվի, եթե նրա համարիչը և հայտարարը բազմապատկենք միևնույն արտահայտությամբ, որի արժեքը զրոյից տարբեր է:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 149-150-ա,գ,ե; 151-ա; 152-ա,գ

Տնային առաջադրանքներ՝ 149-150-բ,դ,զ; 151-բ; 152-բ,դ

.

16.11.2020 թ. —Ամբողջ ցուցիչով աստիճանի հատկությունները:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 139-143-ա,գ; 145-ա,գ,ե

Տնային առաջադրանքներ՝ 139-143-բ; 145-բ,դ,զ

.

13.11.2020 թ. —Ամբողջ ցուցիչով աստիճանի հատկությունները:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 133-138-ա,գ,ե

Տնային առաջադրանքներ՝ 133-138-մն.

.

11.11.2020 թ. —Հանրահաշվական կոտորակներ:Ամբողջ ցուցիչով աստիճանի հասկացությունը:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 120-բ; 121-ա,գ,ե; 122-ա; 124-բ,դ; 126-ա; 127-ա,գ

Տնային առաջադրանքներ՝ 120-գ; 121-բ,դ,ե; 122-բ; 124-ա,գ; 126-բ; 127-բ,դ

.

09.11.2020 թ. —Հանրահաշվական կոտորակներ:Ամբողջ ցուցիչով աստիճանի հասկացությունը:

Տեսություն՝

Եթե n-ը բնական թիվ է և a≠0, ապա a⁻ⁿ գրելով` հասկանում են a⁻ⁿ=1/aⁿ

Եթե n-ը բնական թիվ է և a≠0, ապա aⁿ գրելով` հասկանում են aⁿ=axax…xa (n հատ)

1. Միևնույն թվի աստիճանները բազմապատկելիս ցուցիչները գումարվում են՝ a_^s⋅a^t=a^s+t

2. Միևնույն թվի աստիճանները բաժանելիս ցուցիչները հանվում են՝ a^s:a^t=a^s−t

3. Աստիճանը աստիճան բարձրացնելիս ցուցիչները բազմապատկվում են՝ (a^s)^t=a^s⋅t

4. Երկու թվերի արտադրյալի աստիճանը հավասար է այդ թվերի նույն աստիճանների արտադրյալին՝ (a⋅b)^s=a^s⋅b^s

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 115-ա,գ; 116-ա,գ,ե; 117-ա; 118-բ,դ,զ; 119-ա

Տնային առաջադրանքներ՝ 115-բ,դ; 116-բ,դ,ե; 117-բ; 118-ա,գ,ե; 119-բ

.

28.10.2020 թ. -Տեքստային խնդիրների լուծումը համակարգի օգնությամբ

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 96; 98; 100; 102

Տնային առաջադրանքներ՝ 97; 99; 101; 104

.

26.10.2020 թ. -Տեքստային խնդիրների լուծումը համակարգի օգնությամբ

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 85; 87; 92; 94

Տնային առաջադրանքներ՝ 86; 88; 93; 95

.

21.10.2020 թ. -Տեքստային խնդիրների լուծումը համակարգի օգնությամբ

Տեսություն՝

Երկու անհայտներով համակարգերի միջոցով հաճախ հաջողվում է լուծել տեքստային խնդիրներ:
Խնդրի լուծումը կարելի է բաժանել երեք քայլի.
առաջին քայլ՝ համակարգի կազմում
երկրորդ քայլ՝ համակարգի լուծում
երրորդ քայլ՝ խնդրի պատասխանը

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 79-84-բ

Տնային առաջադրանքներ՝ 79-84-ա

.

19.10.2020 թ. -Գծային հավասարումների համակարգեր. գրաֆիկական եղանակ

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 70, 72-ա,դ; 73-ա; 78-բ;

Տնային առաջադրանքներ՝ 72-բ, ե; 73-բ; 78-ա

.

14.10.2020 թ. -Գծային հավասարումների համակարգեր. գրաֆիկական եղանակ

Տեսություն՝

Դիցուք տրված է x և y անհայտներով գծային հավասարումների համակարգ՝ {a₁x+b₁y+c₁=0 , a₂x+b₂y+c₂=0

(x;y) թվազույգը կոչվում է համակարգի լուծում, եթե այն բավարարում է համակարգի հավասարումներից յուրաքանչյուրին:

Համակարգի լուծումները համակարգի հավասարումներով տրվող ուղիղների (գրաֆիկների) ընդհանուր կետերն են:

1. Համակարգի հավասարումներով տրված ուղիղները կարող են հատվել մեկ կետում: Այդ կետի կոորդինատները համակարգի միակ լուծումն են: 

2. Համակարգի հավասարումներով տրված ուղիղները կարող են լինել զուգահեռ և չհատվել: Այս դեպքում համակարգը լուծում չունի:

 3. Համակարգի հավասարումներով տրված ուղիղները կարող են համընկնել: Այս դեպքում համակարգն ունի անվերջ թվով լուծումներ:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 66-ա, գ; 67-բ; 68-ա,ե

Տնային առաջադրանքներ՝ 66-բ, դ; 67-ա; 68-բ,դ

.

12.10.2020 թ. -Երկու անհայտով երկու գծային հավասարումների համակարգի լուծումը

Տեսություն՝

Դիցուք տրված են x և y երկու անհայտներով առաջին աստիճանի գծային հավասարումներ՝ a₁x+b₁y+c₁=0 և a₂x+b₂y+c₂=0: Ասում են, որ տրված է  x և y երկու անհայտներով հավասարումների համակարգ, եթե պահանջվում է գտնել բոլոր այն (x;y) թվազույգերը, որոնք միաժամանակ բավարարում են և՛առաջին, և՛ երկրորդ հավասարումներին:

Համակարգի հավասարումները գրում են իրար տակ և միացնում են հատուկ նշանի՝ ձևավոր փակագծերի միջոցով. {a₁x+b₁y+c₁=0 , a₂x+b₂y+c₂=0

(x;y) թվազույգը, որը հանդիսանում է միաժամանակ և՛ առաջին, և՛ երկրորդ հավասարումների լուծում, կոչվում է համակարգի լուծում:

Լուծել համակարգը նշանակում է գտնել նրա բոլոր լուծումները կամ ապացուցել, որ լուծումներ չկան:

Օրինակ՝

Հոր և որդու տարիքների տարբերությունը 25 է, իսկ գումարը՝ 35: Գտնել հոր և որդու տարիքները: 

Լուծում: Պետք է գտնել երկու անհայտ մեծություններ՝ հոր և որդու տարիքները: Նշանակենք դրանք համապատասխանաբար x և y տառերով: Խնդրի պայմանները կարելի է արտագրել հետևյալ երկու հավասարումների միջոցով՝ x−y=25 և x+y=35 Որոնելի x և y թվերը պետք է բավարարեն միաժամանակ և՛ առաջին, և՛ երկրորդ հավասարումներին: Հետևաբար, ըստ վերևի սահմանման, ստանում ենք հավասարումների համակարգ՝ {x−y=25,x+y=35 Այս համակարգի համար գտնում ենք x=30 և y=5 թվերը, որոնք բավարարում են համակարգի երկու հավասարումներին: Հետևաբար հայրը 30 տարեկան է, իսկ որդին՝ 5:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 52; 54-ա,գ; 55-ա,գ; 57-գ; 58-ա

Տնային առաջադրանքներ՝ 54-բ, դ; 55-բ,դ; 57-բ; 58-բ

.

07.10.2020 թ. -Հավասարումների և հավասարումների համակարգերի համարժեքությունը

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 43-ա, գ; 44-ա; 47-բ; 48

Տնային առաջադրանքներ՝ 43-բ, դ; 44-բ; 47-գ; 49

.

30.09.2020 թ. Տեղադրման եղանակը

Տեսություն

Երկու անհայտներով երկու հավասարումների համակարգի լուծման տեղադրման եղանակի ալգորիթմը: 1. Համակարգի հավասարումներից որևէ մեկից (սովորաբար ավելի պարզից) արտահայտել փոփոխականներից մեկը մյուսի միջոցով, օրինակ՝ առաջին հավասարումից արտահայտել x-ը y-ի միջոցով:
2. Ստացված արտահայտությունը տեղադրել մյուս (երկրորդ) հավասարման մեջ, օրինակ՝ x-ի փոխարեն:
3. Լուծել մեկ անհայտով հավասարումը, օրինակ՝ y-ի նկատմամբ (գտնել y-ը ),
4. Երրորդ քայլում գտնված y-ի արժեքը տեղադրել y-ի փոխարեն՝ առաջին քայլում ստացված հավասարման մեջ և գտնել x-ը:
5. Գրել պատասխանը:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 31-ա, ե, է, թ, ի; 32-ա,դ,զ; 33-բ;

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝31-33 մն.

.

28.09.2020 թ. Երկու անհայտով գծային համակարգեր

Տեսություն

Դիցուք տրված են x և y երկու անհայտներով առաջին աստիճանի գծային հավասարումներ՝ a₁x+b₁y+c₁=0 և a₂x+b₂y+c₂=0: Ասում են, որ տրված է  x և y երկու անհայտներով հավասարումների համակարգ, եթե պահանջվում է գտնել բոլոր այն (x;y) թվազույգերը, որոնք միաժամանակ բավարարում են և՛առաջին, և՛ երկրորդ հավասարումներին:

Համակարգի հավասարումները գրում են իրար տակ և միացնում են հատուկ նշանի՝ ձևավոր փակագծերի միջոցով. {a₁x+b₁y+c1=0,a₂x+b₂y+c₂=0(x;y) թվազույգը, որը հանդիսանում է միաժամանակ և՛ առաջին, և՛ երկրորդ հավասարումների լուծում, կոչվում է համակարգի լուծում:Լուծել համակարգը նշանակում է գտնել նրա բոլոր լուծումները կամ ապացուցել, որ լուծումներ չկան:

Օրինակ՝ Հոր և որդու տարիքների տարբերությունը 25 է, իսկ գումարը՝ 35: Գտնել հոր և որդու տարիքները: 

Լուծում: Պետք է գտնել երկու անհայտ մեծություններ՝ հոր և որդու տարիքները: Նշանակենք դրանք համապատասխանաբար x և y տառերով: Խնդրի պայմանները կարելի է արտագրել հետևյալ երկու հավասարումների միջոցով՝ x−y=25 և x+y=35 Որոնելի x և y թվերը պետք է բավարարեն միաժամանակ և՛ առաջին, և՛ երկրորդ հավասարումներին: Հետևաբար, ըստ վերևի սահմանման, ստանում ենք հավասարումների համակարգ՝ {x−y=25,x+y=35 Այս համակարգի համար գտնում ենք x=30 և y=5 թվերը, որոնք բավարարում են համակարգի երկու հավասարումներին: Հետևաբար հայրը 30 տարեկան է, իսկ որդին՝ 5Հաջորդ ենթաթեմայում մենք ցույց կտանք, թե ինչպես փնտրել և գտնել այսպիսի համակարգերի լուծումները:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 18-ա; 23-գ; 24-ա; 26-գ;27-ա;

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝18-բ;23-բ;24-բ;26-բ;27-բ

.

23.09.2020 թ. Երկու անհայտներով գծային հավասարում

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 11-ա,դ; 12-ա, ե; 13-ա,զ; 14-ա,գ; 16-ա

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝11-բ,գ; 12-բ,դ; 13-բ,ե; 14-բ,դ; 16-բ

.

16.09.2020 թ. Երկու անհայտներով գծային հավասարում

Տեսություն

ax+by+c=0 տեսքի հավասարումը, որտեղ a−ն, b−ն, c−ն թվեր են (գործակիցներ), կոչվում է x և yերկու անհայտներով առաջին աստիճանի գծային հավասարում:a և b թվերը կոչվում են անհայտների գործակիցներ, իսկ c-ն՝ ազատ անդամ: 

ax+by+c=0 հավասարման լուծում անվանում են ցանկացած (x;y) թվազույգ, որը բավարարում է ax+by+c=0 հավասարմանը, այսինքն՝ հավասարման մեջ տեղադրելիս այն վերածում է ճիշտ թվային հավասարության:

Օրինակ

Նկարագրենք x+y−3=0 երկու անհայտով գծային հավասարման լուծումների դիրքը xOy կոորդինատային հարթության վրա:

Վերցնենք հավասարման մի քանի լուծում, այսինքն, դիտարկենք մի քանի թվազույգեր, որոնք բավարարում են տրված հավասարմանը՝ (3;0),(2;1),(1;2),(0;3),(4;−1) 

Կառուցենք այդ կետերը xOy կոորդինատային հարթության վրա: 

Նկատում ենք, որ դրանք բոլորն ընկած են միևնույն t ուղղի վրա:

 Այսպիսով, x+y−3=0 հավասարման լուծումները հարթության վրա կազմում են t ուղիղը: 

 Այսինքն, եթե (x;y) կետը բավարարում է ax+by+c=0 հավասարմանը, ապա М(x;y) կետն ընկած է t ուղղի վրա, և, հակառակը, եթե М(x;y) կետն ընկած է t ուղղի վրա, ապա (x;y) թվազույգը բավարարում է ax+by+c=0 հավասարմանը: 

Տեղի ունի հետևյալ թեորեմը.

Եթե ax+by+c=0 գծային հավասարման a,b գործակիցներից գոնե մեկը տարբեր է զրոյից, ապա հավասարումն ունի անվերջ թվով լուծումներ, որոնք ընկած են միևնույն ուղղի վրա:

 ax+by+c=0հավասարման բոլոր լուծումները գտնելու համար պետք է կառուցել այդ ուղիղը: 

Դիտարկենք a≠0,b≠0 դեպքը: Կատարենք հետևյալ քայլերը:

 1. Վերցնենք x փոփոխականի որոշակի արժեք՝ x=x1 և ax1+by+c=0 հավասարումից գտնենք y=y1 արժեքը: 

2. Վերցնենք x փոփոխականի մեկ ուրիշ x=x² արժեք և ax²+by+c=0 հավասարումից գտնենք y=y² արժեքը:

3. xOy կոորդինատային հարթության վրա կառուցենք (x1;y1)(x2;y2) կետերը:

4. Այդ կետերով տանենք ուղիղ:

 Դա հենց կլինի ax+by+c=0 հավասարման բոլոր լուծումները նկարագրող ուղիղը՝ հավասարման գրաֆիկը:

 Օրինակ

Կառուցենք x−2y−4=0 հավասարման գրաֆիկը:

Կառուցումը կատարենք ըստ թվարկված քայլերի: 

 1. Վերցնենք x=0 արժեքը: Կստանանք՝  0−2y−4=0,

−2y=4,

y=4:(−2)

y=−2 

2. Վերցնենք y=0 արժեքը: Կստանանք՝ x−2⋅0−4=0

x−4=0

x=4 

3. Կառուցենք xOy հարթության վրա ստացված (0;−2) և (4;0) կետերը: 

4. Այդ կետերով տանենք ուղիղ: 

 Այս ուղղի վրա են գտնվում x−2y−4=0 հավասարման բոլոր լուծումները:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 2; 7 (1 հատ); 8-ա, գ; 9-ա,դ; 10-ա,գ

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝3; 7 (1 հատ); 8-բ,դ; 9-բ,ե; 10-բ,դ

8.1 դասարան

Ուսումնական նյութեր