22.11.2021թ.—Նախագծային աշխատանք
Category: Հանրահաշիվ
Առցանց ուսուցում(մարտի 30-մայիսի 15).7-րդ դասարան
Հանրահաշիվ
Մայիսի 11.Թվային ֆունկցիա, տրման եղանակները
Տեսակապ 11.
Տեսություն՝
Դիցուք X-ը որևէ թվային բազմություն է: Եթե այդ բազմության յուրաքանչյուր x թվի որոշակի f օրենքով համապատասխանության մեջ է դրվում ճիշտ մեկ y թիվ, ապա ասում են, որ X բազմության վրա տրված է y=f(x) ֆունկցիան:
x-ը անվանում են անկախ փոփոխական կամ արգումենտ, իսկ y-ը՝ կախյալ փոփոխական կամ ֆունկցիայի արժեք: X բազմությունը անվանում են ֆունկցիայի որոշման տիրույթ:
y=f(x) բանաձևում՝
x-ը անկախ փոփոխականն է, կամ արգումենտը,
y-ը կախյալ փոփոխականն է, կամ ֆունկցիայի արժեքը x կետում,
f-ը կանոնն է, որով ամեն x արգումենտի համար գտնվում է ֆունկցիայի y արժեքը:
Ուշադրություն
Ֆունկցիան տալու համար պետք է նկարագրել f օրենքը (կանոնը, եղանակը), որի օգնությամբ X բազմության ցանկացած x-ի համար կարելի է գտնել ֆունկցիայի y արժեքը:
Օրինակ
Ֆունկցիայի օրինակ է x և y փոփոխականների միջև y=2x առնչությունը:
Այս դեպքում կանոնը հետևյալն է՝ ցանկացած x թիվ պետք է կրկնապատկել, ստացված կրկնապատիկ թիվը՝ y=2x-ը կլինի ֆունկցիայի արժեքը x կետում:
Քանի որ ցանկացած թիվ կարելի է կրկնապատկել, ապա այս ֆունկցիան իմաստ ունի ցանկացած x-ի համար: Սա նշանակում է, որ ֆունկցիայի որոշման տիրույթը՝ X բազմությունը, ամբողջ թվային առանցքն է:
Այս օրինակում ֆունկցիան տրվում է բանաձևի (y=2x) միջոցով: Գոյություն ունեն f օրենքը նկարագրելու (ֆունկցիայի տրման) այլ եղանակներ:
Ֆունկցիայի տրման եղանակները
1. Գրաֆիկական եղանակ: Ֆունկցիան տրվում է գրաֆիկի (դիագրամի, սյունապատկերի) միջոցով:
Եթե ունենք y=f(x),x∈X ֆունկցիան, և xOy հարթության վրա նշված են (x;y) տեսքի բոլոր կետերը, որտեղ x∈X, և y=f(x), ապա այդ կետերի բազմությունը կոչվում է y=f(x),x∈X ֆունկցիայի գրաֆիկ:
Օրինակ
y=kx՝ուղիղ գիծ:
2. Անալիտիկ եղանակ: Ֆունկցիան տրվում է բանաձևի միջոցով:
y=x^2
y=|x|
3. Աղյուսակային եղանակ: Ֆունկցիան տրվում է աղյուսակի միջոցով:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | 1 | 4 | 9 | 16 |
4. Թվազույգերի եղանակ: Ֆունկցիան տրվում է թվազույգերով՝
(1;2),(2;4),(3;6)
Տնային առաջադրանքներ՝ 421-429
Մայիսի 4.Բազմության միավորում և հատում:Թվային բազմություններ:
Տեսակապ 10.
Տեսություն՝
X և Y բազմությունների միավորում անվանում են այն բազմությունը, որը բաղկացած է բոլոր այն տարրերից, որոնք պատկանում են X և Y բազմություններից գոնե մեկին: Միավորումը նշանակում են այսպես՝ X∪Y
Բազմությունները հարմար է ներկայացնել շրջանների տեսքով, որոնք անվանում են Էյլերի շրջաններ: Նկարում բազմությունների միավորումը ներկված է կապույտ գույնով:
X և Y բազմությունների հատում անվանում են այն բազմությունը, որի տարրերը պատկանում են միաժամանակ և՛ X, և՛ Y բազմություններին: Հատումը նշանակում են այսպես՝ X∩Y
Նկարում բազմությունների հատումը ներկված է նարնջագույնով:
Օրինակ
Գտնենք A և B բազմությունների հատումը, եթե, A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} և B={2,4,6,8,10}
Ընդգրկենք ընդհանուր տարրերը և բացառենք մնացած տարրերը՝
A∩B={2,4,6,8}
Վերջավոր բազմությունների դեպքում գոյություն ունի կապ երկու բազմությունների միավորման և հատման տարրերի թվերի միջև՝ (մոդուլի նշանը ցույց է տալիս բազմության տարրերի թիվը).
|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|
Իրոք, եթե բազմություններն ունեն ընդհանուր անդամներ, ապա տարրերի ընդհանուր թիվը հաշվելիս, դրանք հաշվվում են երկու անգամ: Ուրեմն, պետք է մի անգամ հանել:
Բնական կոչվում են այն թվերը, որոնք առաջանում են հաշվելիս կամ նման առարկաներ համարակալելիս:
Բնական թվերի բազմությունը նշանակում են N տառով:
1,2,3,4,5,...
Բնական թվերից, (0\)-ից և բոլոր բացասական ամբողջ թվերից՝ −1,−2,−3,−4,..., կազմված բազմությունն անվանում են ամբողջ թվերի բազմություն և նշանակում են Z տառով:
Ամբողջ թվերից, սովորական կոտորակներից կազմված բազմությունն անվանում են ռացիոնալ թվերի բազմություն և նշանակում են Q տառով:
Ռացիոնալ թվերի Q բազմությունը բաղկացած է mn;−mn տեսքի թվերից (որտեղ m-ը և n-ը բնական թվեր են) և 0 թվից:
Հասկանալի է, որ՝ N -ը Z -ի ենթաբազմություն է, իսկ Z -ը՝ Q -ի: N⊂Z;Z⊂Q
Ցանկացած ռացիոնալ թիվ կարելի է ներկայացնել պարբերական տասնորդական կոտորակի տեսքով (վերջավոր կամ անվերջ)՝
4=4,000000000…=4,(0)
5/4=1,25=1,25000…=1,25(0)
7/22=0,3181818…=0,3(18)
7,3777=7,37770000…=7,3777(0)
Ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը՝ ցանկացած պարբերական տասնորդական կոտորակ ռացիոնալ թիվ է:
Սակայն, կան անվերջ տասնորդական կոտորակներ, որոնք պարբերական չեն:
Օրինակ
0,10110111... (յուրաքանչյուր 0−ից հետո 1−երի թիվը մեկով ավելանում է),
−17,12345 67891011121314... (ստորակետից հետո գրված են բոլոր բնական թվերը):
Թիվը, որը կարելի է գրել անվերջ ոչ պարբերական կոտորակի տեսքով կոչվում է իռացիոնալ թիվ: Ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերը միասին անվանում են իրական թվեր: Իրական թվերի բազմությունը նշանակում են R տառով:
Առցանց քննարկվող և տնայինառաջադրանքներ
Ապրիլի 27.Բազմության տարրեր, ենթաբազմություն
Տեսակապ 9.
Տեսություն՝
Բազմությունը որևէ առարկաների, իրերի, գաղափարների հավաքածու է, որոնք կոչվում են այդ բազմության տարրեր:
Սովորաբար բազմությունը նշանակում են լատինական այբուբենի մեծատառերով՝ A,B,C,...,իսկ բազմության տարրերը՝ նույն այբուբենի փոքրատառերով՝ a,b,c,...:
Բազմությունը բաղկացած է տարրերից. դա գրում են ձևավոր փակագծերի միջոցով՝ A={a1;a2;…;an}
Եթե a-ն A բազմության տարր է, ապա ասում են՝ «a-ն պատկանում է A-ին» և գրում ∈ պատկանելիության նշանի միջոցով՝ a∈A: ∉ նշանը ցույց է տալիս, որ տարրը չի պատկանում բազմությանը:
Օրինակ՝ −8∉N նշանակում է, որ −8 թիվը չի պատկանում բնական թվերի բազմությանը:
Բազմության տարրերի հերթականությունը կարևոր չէ:
Օրինակ՝ {a,b,c}և{c,b,a} բազմությունները նույն են, կամ հավասար են:
Երկու բազմություններ անվանում են հավասար, եթե նրանք բաղկացած են միևնույն տարրերից:
Ոչ մի տարր չպարունակող բազմությունը անվանում են դատարկ բազմություն և նշանակում են ∅ նշանով:
Վերջավոր թվով տարրերից բաղկացած բազմությունը կոչվում է վերջավոր բազմություն:
Օրինակ՝ մեկ a տարրից բաղկացած A={a} բազմությունը վերջավոր է:
Բնական թվերի N={1,2,3,4,5…} բազմությունը վերջավոր չէ կամ անվերջ է:
Դիտարկենք բազմությունների տրման եղանակները:
|
Նկարագիրը բառերով
|
Նկարագիրը տարրերի տրման միջոցով
|
|
Տասնորդական համակարգի նիշեր
|
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
|
|
Լատինական այբուբենի առաջին չորս տառեր
|
{a,b,c,d}
|
|
(x+5)(x−9)=0 հավասարման արմատներ
|
{−5;9}
|
|
Բնական թվերի բազմություն
|
N={1,2,3,4,5…}
|
|
10-ից մեծ թվերի բազմություն
|
{x;x>10}
|
Բազմության տարրերից, տարբեր խմբավորումներով, կարելի է կազմել նոր բազմություններ:
Օրինակ՝ {∇,Ω,∑} երեք տարրանոց բազմությունից կարելի է կազմել մեկ և երկու տարրանոց ենթաբազմություններ՝ {∇},{Ω},{∑},{∇,Ω},{Ω,∑},{∇,∑}
Եթե A բազմության ցանկացած տարր հանդիսանում է նաև B բազմության տարր, ապա ասում են, որ A-ն B բազմության ենթաբազմություն է և գրում են՝ A⊂B
Մասնավորապես՝ բազմությունը իր ենթաբազմությունն է՝ A⊂A
Օրինակ՝ այս 3∈{0,1,2,3,4,5} գրառումը ճիշտ է, քանի որ 3 թիվը հանդիսանում է {0,1,2,3,4,5} բազմության տարր: Իսկ 3⊂{0,1,2,3,4,5} գրառումը ճիշտ չէ՝ ձախ մասում թիվ է, իսկ պետք է բազմություն լինի:
Առցանց քննարկվող և տնային առաջադրանքներ
Ապրիլի 20.Առաջին աստիճանի հավասարման բերվող տեքստային խնդիրներ
Տեսակապ 8.
Տեսություն՝
Մեկ անհայտով գծային հավասարումների միջոցով հաճախ հաջողվում է լուծել տարբեր խնդիրներ:
Դրա համար պետք է խնդրում նկարագրված իրավիճակը փորձել արտահայտել գծային հավասարման միջոցով:
Տեքստային խնդիրը լուծելու համար պետք է կատարել հետևյալ քայլերը:
1. Խնդրում պահանջվող անհայտ մեծությունը նշանակել որևէ տառով, օրինակ՝ x -ով:
2. Խնդրի պայմանների հիման վրա կազմել գծային հավասարում՝ x անհայտով:
3. Լուծել կազմած հավասարումը և գտնել պահանջվող x անհայտը:
Լուծման քայլերը դիտարկենք օրինակների վրա:
Օրինակ
Հոր տարիքը 8 տարով մեծ է որդու տարիքի կրկնապատիկից: Քանի՞ տարեկան է որդին, եթե հայրը 40 տարեկան է:
1. Որդու տարիքը նշանակենք x -ով: Դա կլինի մեր հավասարման անհայտը:
2. Կազմենք հավասարումը:
Որդու տարիքի կրկնապատիկը հավասար կլինի 2x: Ըստ պայմանի` հոր տարիքը 40 է, և դա 8-ով մեծ է որդու տարիքի կրկնապատիկից, ասինքն՝ 2x-ից: Ստանում ենք հետևյալ հավասարումը՝ 40−2x=8
3. Լուծենք ստացված հավասարումը:
40−2x=840−8=2x32=2xx=16
Պատասխան՝ որդին 16 տարեկան է:
Լուծենք այս խնդիրը:
Առաջին թիվը 3 անգամ մեծ է երկրորդ թվից, իսկ դրանց գումարը հավասար է՝ 24: Որո՞նք են այդ թվերը:
1. Երկրորդ թիվը նշանակենք x-ով: Առաջին թիվը հավասար կլինի 3x:
2. Կազմենք հավասարումը:
Քանի որ թվերի գումարը հավասար է՝ 24, ապա ստանում ենք հետևյալ հավասարումը`
3x+x=24
3. Լուծենք ստացված հավասարումը:
3x+x=244x=24x=6,3x=18
Ապրիլի 17.Մեկ անհայտով գծային հավասարումների լուծումը
Տեսակապ 7.
Առցանց քննարկվող՝332 ա,դ,ե,է,ժ, լ,հ, 333 ա,դ, 334 ա,դ,ե,է,լ, 335 ա,դ,ե,է, 336ա,դ,ե,է,
Տնային առաջադրանքներ՝ 332-336 մնաց.
Ապրիլի 13.Մեկ անհայտով գծային հավասարումների լուծումը
Տեսակապ 6.
Առցանց քննարկվող՝328 ա,դ,ե,է,ժ, լ, 329 ա,դ,ե,է,ը, 330 ա,դ,ե,է,լ, 331 ա,դ,ե,է,
Տնային առաջադրանքներ՝ 328-331 մնաց.
Ապրիլի 9.Մեկ անհայտով գծային հավասարումներ
Ընտանեկան նախագիծ
Տեսակապ 5.
Տեսություն՝
Մեկ անհայտով գծային հավասարում կոչվում է kx+b=0 հավասարումը, որտեղ
k−ն և b−ն ցանկացած թվեր են:
k−ն կոչվում է անհայտի գործակից, իսկ b−ն՝ ազատ անդամ:
Եթե k-ն զրո չէ, ապա գծային հավասարումը լուծելու համար պետք է կատարել երկու քայլ:
|
Լուծման քայլեր
|
Օրինակ
|
|
1. Ազատ անդամը տանել աջ մաս՝ փոխելով նրա նշանը՝
kx+b=0,kx=−b
|
6x−24=0, 6x=24
|
|
2. Ստացված հավասարման երկու մասերը բաժանել անհայտի գործակցի վրա՝
x=−bk
|
x=246,x=4
|
Երկու հավասարում կոչվում է համարժեք, եթե առաջինի ցանկացած արմատ արմատ է նաև երկրորդի համար, և երկրորդի ցանկացած արմատ արմատ է նաև առաջինի համար:
1. Եթե հավասարման ձախ և աջ մասերը բազմապատկենք (կամ բաժանենք) զրոյից տարբեր միևնույն թվով, ապա կստանանք համարժեք հավասարում:
2. Եթե հավասարման որևէ անդամ հավասարման մի մասից տեղափոխենք մյուս մաս, փոխելով նրա նշանը, ապա կստանանք համարժեք հավասարում:
3. Եթե հավասարման ձախ կամ աջ մասում կատարենք նման անդամների միացում, ապա կստանանք համարժեք հավասարում:
Առցանց քննարկվող և տնային առաջադրանքներ
Ապրիլի 6.Գծային հավասարումներ: Առաջին աստիճանի մեկ անհայտով հավասարումներ
Տեսակապ 4.
Առցանց քննարկվող և տնային առաջադրանք առաջադրանքներ
Ապրիլի 2.Գծային հավասարումներ: Առաջին աստիճանի մեկ անհայտով հավասարումներ
Տեսակապ 3.
Տեսություն՝
Եթե հավասարության մեջ կա մեկ փոփոխական, ապա այդ հավասարությունը անվանում են մեկ փոփոխականով հավասարում:
Օրինակ
2 + (3-1) = 4 — հավասարում չէ,
2+ (x-1) = 4 — հավասարում է:
Մեկ անհայտով առաջին աստիճանի հավասարումանվանում են այն հավասարումը, որի ձախ մասը առաջին աստիճանի բազմանդամ է, իսկ աջ մասը՝ զրո:
Մեկ անհայտով առաջին աստիճանի հավասարման ընդհանուր տեսքն է՝ kx+b=0(k≠0), որտեղ k-ն և b-ն տրված թվեր են: k թիվը անվանում են անհայտի գործակից, իսկ b-ն՝ ազատ անդամ:
Օրինակ՝ 6x+1=0 հավասարման մեջ 6-ը անհայտի գործակիցն է, իսկ 1-ը՝ ազատ անդամը:
Մեկ x անհայտ պարունակող հավասարման արմատ (կամ լուծում) անվանում են այն թիվը, որը հավասարման մեջ x-ի փոխարեն տեղադրելիս ստացվում է ճիշտ թվային հավասարություն:
Տեսանյութ՝
Արդյունքներ՝
Մնացած տեսանյութերը՝ Քան ակադեմիա կայքից
Առաջադրանքներ՝ 316-320 վարժություններ, վարժություններ im dproc կայքից, (316-320 մնաց. ինքնուրույն)
Տեսակապ 2
Մարտի 30.Բազմանդամի վերլուծումը արտադրիչների
Առաջադրանքներ՝ 300-309 վարժություններ, վարժություններ im dproc կայքից, (մնաց. ինքնուրույն)
Ապրիլի 6-ապրիլի 15
Քննարկվող ուղղությունները՝
1.Մեկ անհայտով գծային հավասարումներ
2.Քան ակադեմիա կայքից առաջադրանքների կատարում
3.Իմ դպրոց կայքից առաջադրանքների կատարում
4.Հետազոտական նախագիծ կորոնավիրուսի ցուցանիշների վերաբերյալ
Երկրաչափություն
Մայիսի 13.Եռանկյան կողմերի և անկյունների միջև առնչությունների կիրառություններ
Տեսակապ 9.
Տեսություն՝
Կետի հեռավորությունը ուղղից
1. Եթե C կետից a ուղղին տարված է CA ուղղահայացը, ապա բոլոր մնացած հատվածները, որոնք տարված են այդ կետից դեպի ուղղի կետերը, կոչվում են թեքեր:
2. Կետից ուղղին տարված ուղղահայացը փոքր է այդ կետից տարված ցանկացած թեքից, քանի որ ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը մեծ է էջից:
3. Կետից ուղղին տարված ուղղահայացի երկարությունը կոչվում է այդ կետի հեռավորություն ուղղից:
Զուգահեռ ուղիղների հեռավորությունը
Զուգահեռ ուղիղներից մեկի բոլոր կետերը գտնվում է նույն հեռավորության վրա մյուս ուղղից:
Հետևաբար, երկու զուգահեռ ուղիղների հեռավորությունը որոշվում է ուղիղներից մեկի ցանկացած կետից մյուս ուղղին տարված ուղղահայացով:
Զուգահեռ ուղիղներից մեկի կամայական կետի հեռավորությունը մյուս ուղղից կոչվում է զուգահեռ ուղիղների միջև հեռավորություն:
Աղբյուրները
Անկյան կիսորդի հատկությունը
Թեորեմ: Անկյան կիսորդի ցանկացած կետ հավասարահեռ է այդ անկյան կողմերից:
Ապացուցենք այս թեորեմը: Նայիր վերևի նկարին:
Կիսորդով առաջացած եռանկյունների անկյունները համապատասխանաբար հավասար են: Իրոք, մի զույգի անկյունները հավասար են՝ ըստ կիսորդի սահմանման, մյուս զույգի անկյունները 90 աստիճան են (կետի հեռավորությունները ուղիղներից): Հետևաբար, հավասար է նաև երրորդ զույգի անկյունները (անկյունների գումարը պետք է 180° լինի):
Քանի որ դիտարկվող ուղղանկյուն եռանկյունների ներքնաձիգը ընդհանուր է (կիսորդի վրա գտնվող կողմը), ապա եռանկյունները հավասար են` ըստ եռանկյունների հավասարության երկրորդ հայտանիշի (կողմ և առընթեր երկու անկյուններ): Հետևաբար, հավասար են նաև համապատասխան էջերը:
Հատվածի միջնուղղահայացի հատկությունը
Հատվածին ուղղահայաց և նրա միջնակետով անցնող ուղիղը կոչվում է հատվածի միջնուղղահայաց:
Թեորեմ: Միջնուղղահայացի ցանկացած կետ հավասարահեռ է այդ հատվածի ծայրակետերից:
Պետք է ապացուցել, որ AC և BC հատվածները հավասար են: Դրանում կարելի է համոզվել, եթե ապացուցեք, որ հավասար են BEC և AEC ուղղանկյուն եռանկյունները:
Ըստ միջնուղղահայացի սահմանման՝ E անկյունը ուղիղ է և AE=BE: Քանի որ CE-ն ընդհանուր կողմ է, ապա դիտարկվող եռանկյունները հավասար են՝ ըստ եռանկյունների հավասարության առաջին հայտանիշի (երկու կողմեր և դրանցով կազմված անկյուններ):
Հետևաբար, հավասար են նաև եռանկյունների ներքնաձիգները:
Առցանց քննարկվող և տնային առաջադրանքներ
Մայիսի 8.Շրջանագիծ և շրջան
Տեսակապ 8.
Տեսություն՝
Շրջանագիծ կոչվում է երկրաչափական այն պատկերը, որը կազմված է հարթության բոլոր այն կետերից, որոնք գտնվում են տրված կետից տրված հեռավորության վրա:
Այդ կետը կոչվում է շրջանագծի կենտրոն, իսկ տրված հեռավորությունը՝ շրջանագծի շառավիղ:
Շառավիղը հատված է, որը միացնում է շրջանագծի կենտրոնը շրջանագծի ցանկացած կետի հետ: Սահմանումից հետևում է, որ կարելի է տանել անվերջ թվով շառավիղներ, և դրանք բոլորը կունենան միևնույն երկարությունը:
Շրջանագծի երկու կետեր միացնող հատվածը կոչվում է լար:
Եթե լարը անցնում է շրջանագծի կենտրոնով, ապա այն կոչվում է շրջանագծի տրամագիծ:
Տրամագիծն ամենաերկար լարն է:
Շրջանագծում կարելի է տանել նաև անվերջ թվով տրամագծեր:
Շրջանագծի ցանկացած երկու կետեր շրջանագիծը տրոհում են երկու մասի, որոնցից յուրաքանչյուրը կոչվում է շրջանագծի աղեղ:
Եթե շրջանագծի վրա նշենք երկու կետ, ապա առաջանում են երկու աղեղներ: Այդ պատճառով աղեղի նշանակման համար օգտագործում են լատիներեն երեք տառ, որոնք կարող են լինել ինչպես մեծատառեր, այնպես էլ՝ փոքրատառեր:
Վերևի նկարում կարող ենք նշել BDH, ACG և մյուս աղեղները:
Ներքևի նկարում գծված են AxB և AyB աղեղները:
Հարթության այն մասը, որը սահմանափակված է շրջանագծով, կոչվում է շրջան:
Առցանց քննարկվող և տնային առաջադրանքներ
Ապրիլի 29.Ուղղանկյուն եռանկյուններ
Տեսակապ 7.
Տեսություն՝
Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը հավասար է 90°-ի:
Եռանկյան անկյունների գումարը հավասար է 180°-ի, իսկ ուղիղ անկյանը՝ 90°-ի: Հետևաբար, երկու սուր անկյունների գումարը հավասար է՝ ∡1+∡2=90°
Ուղղանկյուն եռանկյան 30°-ի անկյան դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին (ներքնաձիգը երկու անգամ մեծ է 30°-ի դիմացի էջից):
Դիտարկենք ABC ուղղանկյուն եռանկյունը, որում ∡A-ն ուղիղ անկյունն է, ∡B=30° և ուրեմն՝ ∡C=60°
Ապացուցենք, որ BC=2AC
ABC եռանկյանը կցենք նրան հավասար ABD եռանկյունը, ինչպես ցույց է տրված վերևի գծագրում:
Ստանում ենք BCD եռանկյունը, որում ∡B=∡D=60°, ուստի՝ DC=BC: Բայց DC=2AC, հետևաբար, BC=2AC
Տեղի ունի նաև հակառակ պնդումը:
Եթե ուղղանկյուն եռանկյան էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին (կամ ներքնաձիգը երկու անգամ մեծ է էջից), ապա այդ էջի դիմացի անկյունը 30° է:
Ուշադրություն
Դեռ Հին Եգիպտոսում հայտնի էր.
եթե եռանկյան կողմերը համապատասխանաբար հավասար են 3,4 և 5 միավորի, ապա այդ եռանկյունը ուղղանկյուն է և նրա ներքնաձիգը 5 է:
Նույն պնդումը ճիշտ է, եթե եռանկյան կողմերը նշված թվերի բազմապատիկներն են:
Նույն պնդումը ճիշտ է, եթե եռանկյան կողմերը նշված թվերի բազմապատիկներն են:
Ասածից հետևում է նաև հակառակ պնդումը.
եթե ուղղանկյուն եռանկյան էջերը հավասար են 3 և 4 միավորի, ապա նրա ներքնաձիգը հավասար է 5-ի: Այս դեպքում նույնպես պնդումը ճիշտ է, երբ եռանկյան կողմերը նշված թվերի բազմապատիկներն են:
Ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության հայտանիշները
Քանի որ ցանկացած ուղղանկյուն եռանկյան էջերի կազմած անկյունը ուղիղ է, իսկ բոլոր ուղիղ անկյունները հավասար են, ապա եռանկյունների հավասարության ընդհանուր հայտանիշների միջոցով ստանում ենք ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության հայտանիշներ:
1. Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան էջերը հավասար են մյուս ուղղանկյուն եռանկյան էջերին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են:
2. Եթե ուղղանկյուն եռանկյան էջը և նրան առընթեր անկյունը հավասար են համապատասխանաբար մյուս ուղղանկյուն եռանկյան էջին և նրան առընթեր անկյանը, ապա եռանկյունները հավասար են:
3. Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգն ու սուր անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մյուս ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգին և սուր անկյանը, ապա եռանկյունները հավասար են:
4. Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգն ու էջը համապատասխանաբար հավասար են մյուս ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգին և էջին, ապա եռանկյունները հավասար են:
Առցան քննարկվող և տնային առաջադրանքներ
Ապրիլի 22.Առնչություններ եռանկյան կողմերի և անկյունների վերաբերյալ
Տեսակապ 6.
Առցանց քննարկվող և տնային առաջադրանքներ
Ապրիլի 15.Առնչություններ եռանկյան կողմերի և անկյունների վերաբերյալ
Տեսակապ 4.
Տեսություն՝
Եռանկյան ավելի մեծ կողմի դիմաց ընկած է ավելի մեծ անկյունը:
Ապացույց:
Դիցուք ABC եռանկյան մեջ AB կողմն ավելի մեծ է AC կողմից:
Ապացուցենք, որ ∡C>∡B:
Տեղադրենք AB կողմի վրա AC-ին հավասար հատված:
Քանի որ AD<AB, ապա D կետն ընկած է A և B կետերի միջև:
Հետևաբար, 1 անկյունը հանդիսանում է C անկյան մաս, և ուրեմն՝ ∡C>∡1
2 անկյունը BDC եռանկյան արտաքին անկյունն է, ուստի ∡2>∡B
∡ 1=∡ 2՝ որպես ADC հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյուններ:
Այսպիսով, ∡C>∡1=∡2>∡B
Այստեղից հետևում է, որ ∡C>∡B
Տեղի ունի նաև հակառակ պնդումը.
Հետևանքներ.
Հետևանք 1.
Եթե եռանկյան երկու անկյուններ հավասար են, ապա եռանկյունը հավասարասրուն է (հավասարասրուն եռանկյան հայտանիշ):
Հետևանք 2.
Եթե եռանկյան երեք անկյուններ հավասար են, ապա եռանկյունը հավասարակողմ է:
Հետևանք 3.
Ուղղանկյան եռանկյան ներքնաձիգն ավելի մեծ է էջից:
Եռանկյան անհավասարությունը
Եռանկյան յուրաքանչյուր կողմ ավելի փոքր է, քան մյուս երկու կողմերի գումարը:
Ապացույց:
Դիտարկենք ABC եռանկյունը և ապացուցենք, որ AB<AC+BC
Շարունակենք AC կողմը և տեղադրենք հատված CD=BC
BCD եռանկյունը հավասարասրուն է, հետևաբար ∡1=∡2
ABD եռանկյան մեջ, ակնհայտորեն ∡ABD>∡1, ինչը նշանակում է, որ ∡ABD>∡2
Քանի որ ավելի մեծ անկյան դիմաց ընկած է ավելի մեծ կողմ, ապա AB<AD, և AD=AC+BC:
Հետևաբար, AB<AC+BC
Հետևանք 4.
Մի ուղղի վրա չգտնվող A,B և C կետերի համար տեղի ունեն հետևյալ անհավասարությունները՝
AB<AC+CB,AC<AB+BC,BC<AB+AC
Առցանց քննարկվող առաջադրանքներ՝277, 279,281,283
Տնային առաջադրանքներ՝278,280, 282,284
Ապրիլի 8.Եռանկյան անկյունների գումարը
Տեսակապ 3.
Առցանց քննարկվող և տնային առաջադրանքներ
Ապրիլի 1.Եռանկյան անկյունների գումարը
Տեսակապ 2.
Տեսություն՝
Եռանկյան անկյունների գումարը 180° է:
Ապացույց:
Դիտարկենք KLM կամայական եռանկյունը և ապացուցենք, որ ∡K+∡L+∡M=180°
L գագաթով տանենք KM կողմին զուգահեռ a ուղիղը: 1-ով նշանակված անկյունները խաչադիր են՝ առաջացել են a և KM զուգահեռ ուղիղները KL-ով հատելիս:
2-ով նշանակված անկյունները ևս խաչադիր են և առաջացել են նույն զուգահեռ ուղիղները ML-ով հատելիս:
Ակնհայտ է, որ 1, 2 և 3 անկյունների գումարը հավասար է L գագաթով փռված անկյանը, հետևաբար՝
∡1+∡2+∡3= 180° կամ ∡K+∡L+∡M=180°:
Թեորեմն ապացուցված է:
Եռանկյան անկյունների գումարի մասին թեորեմի հետևանքները
Հետևանք 1. Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը 90° է:
Հետևանք 2. Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան յուրաքանչյուր սուր անկյուն հավասար է 45°-ի:
Հետևանք 3. Հավասարակողմ եռանկյան բոլոր երեք անկյունները հավասար են 60°-ի:
Հետևանք 4. Ցանկացած եռանկյան մեջ կամ բոլոր անկյունները սուր են, կամ անկյուններից երկուսը սուր են, իսկ երրորդը՝ բութ կամ ուղիղ:
Հետևանք 5. Եռանկյան արտաքին անկյունը հավասար է երկու ներքին անկյունների գումարին, որոնք կից չեն արտաքին անկյանը:
Առաջադրանքներ՝ 262,267 (մնաց.),269, վարժություններ im dproc կայքից, (մնաց. ինքնուրույն)
Ապրիլի 6-ապրիլի 15
Քննարկվող ուղղությունները՝
1.Առնչությունների եռանկյան կողմերի և անկյունների միջև
2.Ուղղանկյուն եռանկյուններ
3.Իմ դպրոց կայքից առաջադրանքների կատարում
4.Քան ակադեմիայից առաջադրանքների կատարում
Հարցերի դեպքում գրել՝ arshakmartirosyan@mskh.am հասցեին
03.02.2020թ.-07.02.2020թ.
05.02.2020թ.
Թեմա-Խորանարդների գումարը
Դասարանական աշխատանք՝ 226-ա), գ),ե),ը), 227-ա), գ),ե),ը), 228-ա), գ),զ),ը), 230-ա), գ), 231-ա)
Տնային աշխատանք՝ 226-231 մնաց.,
03.02.2020թ.
Թեմա-Խորանարդների գումարը
Դասարանական աշխատանք՝ 221, 222-ա), գ),ե), 223-ա), գ),ե),ը), 224-ա), բ),ե) 225-ա), գ), է), թ),
Տնային աշխատանք՝ 221-225 մնաց.,
Անցածի կրկնության փաթեթներ
23.09.2019թ.-27.09.2019թ.
27.09.2019թ.
Թեմա-Միանդամի կատարյալ տեսքը
Դասարանական աշխատանք՝ 57-ա),գ),ե); 58-ա), ե), ժ), ծ), 59-ա), ե), զ), 54(1)
Տնային աշխատանք՝ 57 մնաց., 58 մնաց., 59 մնաց.,54 մնաց.,
25.09.2019թ.
Թեմա-Միանդամների արտադրյալը, բնական ցուցիչով աստիճան
Դասարանական աշխատանք՝ 49-բ), ե),ը), 50-ա),գ), է),ի),ծ), 51-ա)-դ),52-ա)-գ),53(1),
Տնային աշխատանք՝ 49 մնաց., 50 մնաց.,51 մնաց.,52 մնաց.,53 մնաց.,
23.09.2019թ.
Թեմա-Միանդամների արտադրյալը, բնական ցուցիչով աստիճան
Դասարանական աշխատանք՝ 44-ա)-դ), 45-ա), դ), զ), ժ), 46-ա), ե), զ), ը), 47-ա),դ), ե),48-ա), դ),ե),
Տնային աշխատանք՝ 44-ե)-ը), 45 մնաց., 46 մնաց., 47 մնաց., 48 մնաց.,
Հանրահաշիվ
11.03.2020թ.
Թեմա-Բազմանդամի վերլուծումը արտադրիչների
Դասարանական աշխատանք՝286-ա), գ), 288-ա), գ),ե), 289-ա), գ),ե),290-ա), գ),ե),291-ա), գ),ե),
Տնային աշխատանք՝ 286-291 մնաց.,
09.03.2020թ.
Թեմա-Բազմանդամի վերլուծումը արտադրիչների
Վերլուծել բազմանդամը արտադրիչների նշանակում է՝ այն ներկայացնել երկու կամ ավելի բազմանդամների արտադրյալի տեսքով:
Գոյություն ունի բազմանդամը արտադրիչների վերլուծելու մի քանի եղանակ:
1. Ընդհանուր արտադրիչը փակագծերից դուրս բերման եղանակ.
Օրինակ
Վերլուծենք արտադրիչների 3ab+5ac^2+a^2 բազմանդամը:
Նկատում ենք, որ այս բազմանդամի բոլոր անդամներն ունեն a ընդհանուր արտադրիչը:
Այն փակագծերից դուրս բերելով՝ ստանում ենք բազմանդամի վերլուծումը արտադրիչների՝ 3ab+5ac^2+a^2=a(3b+5c^2+a):
2. Կրճատ բազմապատկման բանաձևերի կիրառումը
Օրինակ
Վերլուծենք արտադրիչների 9x^2−25y^2 բազմանդամը:
ա) Ներկայացնենք բազմանդամի գումարելիները քառակուսիների տեսքով՝ 9x^2=(3x)^2 և 25y^2=(5y)^2
բ) Կիրառենք քառակուսիների տարբերության բանաձևը` 9x^2−25y^2=(3x)^2−(5y)^2=(3x−5y)(3x+5y)
3. Լրիվ քառակուսու առանձնացումը
Օրինակ
Երբեմն օգտակար է լինում նախ առանձնացնել լրիվ քառակուսի, այնուհետև կիրառել քառակուսիների տարբերության բանաձևը:
Վերլուծենք արտադրիչների a^2+2a−15 բազմանդամը:
ա) Առանձնացնենք լրիվ քառակուսի:
Նկատենք, որ բազմանդամի առաջին և երկրորդ գումարելիները մասնակցում են գումարի քառակուսու հետևյալ բանաձևում՝ a^2+2a+1=(a+1)^2: Երրորդ գումարելին` (−15)-ը ներկայացնենք հետևյալ տեսքով՝ −15=1−16, տեղադրենք բազմանդամի մեջ և կիրառենք գումարի քառակուսու բանաձևը` a^2+2a−15=a^2+2a+1−16=(a+1)^2−16
բ) Կիրառենք քառակուսիների տարբերության բանաձևը` a^2+2a−15=(a+1)^2−16=((a+1)−4)((a+1)+4)=(a−3)(a+5):
4. Խմբավորման եղանակ
Օրինակ
Վերլուծենք արտադրիչների 35ab+7a−5b−1 բազմանդամը:
ա) Խմբավորենք բազմանդամի առաջին և երրորդ գումարելիները, ինչպես նաև երկրորդ և չորրորդ գումարելիները`35ab+7a−5b−1=(35ab−5b)+(7a−1):
բ) Առաջին փակագծից դուրս բերենք 5b ընդհանուր արտադրիչը` 35ab+7a−5b−1=(35ab−5b)+(7a−1)=5b(7a−1)+(7a−1):
գ) Փակագծերից դուրս բերենք 7a−1 ընդհանուր արտադրիչը` 35ab+7a−5b−1=(35ab−5b)+(7a−1)=5b(7a−1)+(7a−1)=(7a−1)(5b+1):
Դասարանական աշխատանք՝283-ա), գ),ե), ը), 284-ա), գ),ե), 285-ա), գ),
Տնային աշխատանք՝ 283-285 մնաց.,
24.02.2020թ.
Թեմա-Կրճատ բազմապատկման բանաձևերի կիրառությունը
Դասարանական աշխատանք՝265-ա), գ), 266-ա), բ),ե), ը),267-ա), բ),ե),268-ա), բ),ե), ը),
Տնային աշխատանք՝ 265-268 մնաց.,
19.02.2020թ.
Թեմա-Կրճատ բազմապատկման բանաձևերի կիրառությունը
Դասարանական աշխատանք՝263-ա), գ),264-ա), բ),ե),
Տնային աշխատանք՝ 263-264 մնաց.,
18.02.2020թ.
Թեմա-Գումարի խորանարդը, տարբերության խորանարդը
Դասարանական աշխատանք՝ 246-ա),գ), 247-ա), գ),ե), 248-ա), բ), 254-ա), գ), 255-ա), գ), է), ը),
Տնային աշխատանք՝ 246-248 մնաց.,254-255 մնաց.,
12.02.2020թ.
Թեմա-Խորանարդների տարբերությունը
Դասարանական աշխատանք՝238-ա), գ),է), ը),239-ա), բ),ե), ը), 241-ա), գ), 242-ա)
Տնային աշխատանք՝ 238-242 մնաց.,
10.02.2020թ.
Թեմա-Խորանարդների տարբերությունը
Դասարանական աշխատանք՝ 233, 234-ա),գ), 235-ա), գ),236-ա), բ),ե) 237-ա), գ), է), ը),
Տնային աշխատանք՝ 234-237 մնաց.,
05.02.2020թ.
Թեմա-Խորանարդների գումարը
Դասարանական աշխատանք՝ 226-ա), գ),ե),ը), 227-ա), գ),ե),ը), 228-ա), գ),զ),ը), 230-ա), գ), 231-ա)
Տնային աշխատանք՝ 226-231 մնաց.,
03.02.2020թ.
Թեմա-Խորանարդների գումարը
Դասարանական աշխատանք՝ 221, 222-ա), գ),ե), 223-ա), գ),ե),ը), 224-ա), բ),ե) 225-ա), գ), է), թ),
Տնային աշխատանք՝ 221-225 մնաց.,
18.12.2019թ.
Թեմա-Քառակուսիների տարբերությունը
Դասարանական աշխատանք՝ 211-ա), գ),ե), է), 212-ա), գ), 215-ա), գ),ե), է), 218-ա), գ), 219-ա), գ),ե),
Տնային աշխատանք՝ 211-212 մնաց.,215 մնաց.,218-219 մնաց.,
16.12.2019թ.
Թեմա-Քառակուսիների տարբերությունը
Դասարանական աշխատանք՝ 205, 206-ա), գ),ե), է), 207-ա), գ),ը), 208-ա), բ), 209-ա), գ), է), 210-ա), գ),ե),
Տնային աշխատանք՝ 206-210 մնաց.,
11.12.2019թ.
Թեմա-Տարբերության քառակուսին
Դասարանական աշխատանք՝ 187-ա), գ),ե), ը), 190-ա), գ),ը), 191-բ), 192-ա), գ),
Տնային աշխատանք՝ 187-192 մնաց.,
09.12.2019թ.
Թեմա-Տարբերության քառակուսին
Դասարանական աշխատանք՝ 182-ա), գ),ե), ը), 183-ա), գ),ը), 184-բ), դ), 186-ա), գ),
Տնային աշխատանք՝ 182-186 մնաց.,
04.12.2019թ.
Թեմա-Կրճատ բազմապատկման բանաձևերը: Գումարի քառակուսին
Դասարանական աշխատանք՝ 175-ա), գ),ե), ը), 177-ա), գ),ը), 178-բ), դ), 179-ա), գ),
Տնային աշխատանք՝ 175-179 մնաց.,
02.12.2019թ.
Թեմա-Կրճատ բազմապատկման բանաձևերը: Գումարի քառակուսին
Դասարանական աշխատանք՝ 169-ա), գ),ե), 170-ա), գ),ը), 171-բ), դ), 173-ա), գ),
Տնային աշխատանք՝ 169-173 մնաց.,
29.11.2019թ.
27.11.2019թ.
Թեմա-Ամբողջ արտահայտություն և նրա թվային արժեքը
Թեմա-Ամբողջ արտահայտությունների նույնաբար հավասարությունը
Դասարանական աշխատանք՝ 157-ա), գ), 158-ա), գ),ը), 159-բ), դ), 166-ա), գ), զ), 167-ա), գ), զ),
Տնային աշխատանք՝ 157-159 մնաց.,166-167 մնաց.,
25.11.2019թ.
Թեմա-Ամբողջ արտահայտություն և նրա թվային արժեքը
Դասարանական աշխատանք՝ 148-ա), դ), զ), 149-գ), 150-բ), 151-ա), գ),152 (1), 154-ա),156-բ)
Տնային աշխատանք՝ 148-152 մնաց., 153, 154-156 մնաց.,
21.11.2019թ.
Թեմա-Ամբողջ արտահայտություն և նրա թվային արժեքը
Դասարանական աշխատանք՝ 145-ա), դ), զ), 146-ա), դ), ե), 147-ա), դ), թ),
Տնային աշխատանք՝ 145-147 մնաց.
20.11.2019թ.
Թեմա-Բազմանդամների արտադրյալը
Դասարանական աշխատանք՝ 136-ա), գ), 138-ա), գ), զ),139 -ա), գ), զ), ը), 140-ա), գ), զ), 141-ա), գ), զ), 142-ա), գ), զ),
Տնային աշխատանք՝ 133, 136-142 մնաց.
18.11.2019թ.
Թեմա-Բազմանդամների արտադրյալը
Դասարանական աշխատանք՝ 128-ա), գ), զ),129 -ա), գ), 130-ա), գ), զ), 131-ա), 132-ա)
Տնային աշխատանք՝ 128-132 մնաց.
13.11.2019թ.
Թեմա-Բազմանդամների արտադրյալը
Դասարանական աշխատանք՝ 124 -ա), գ), դ), է), 125 -ա), գ), դ), ը) ,ժ) , 126-ա), գ), զ), թ), 127-ա), դ), զ), ը) ,լ) ,
Տնային աշխատանք՝ 124-127 մնաց.
11.11.2019թ.
Թեմա-Միանդամի և բազմանդամի արտադրյալը
Դասարանական աշխատանք՝ 114 -ա), գ), դ), է),կ), 115 -ա), գ), դ), ը) , 116-ա), գ), զ), 117-ա), դ), զ), ը) ,118- ա), 120- ա),գ),
Տնային աշխատանք՝ 114-120 մնաց.
06.11.2019թ.
Թեմա-Միանդամի և բազմանդամի արտադրյալը
Դասարանական աշխատանք՝ 108 -ա), գ), 109- ա), դ), է), 110-ա), գ), զ), ը), 111-ա), դ), զ), 112- ա)
Տնային աշխատանք՝ 108-112 մնաց.
04.11.2019թ.
Թեմա-Բազմանդամների գումարը և տարբերությունը
Դասարանական աշխատանք՝ 101 -ա), գ), 102- ա), դ), 103-ա), գ), 104-ա), դ), 105- ա), գ), 106-ա)
Տնային աշխատանք՝ 101-106 մնաց.
23.10.2019թ.
Թեմա-Բազմանդամների գումարը և տարբերությունը
Դասարանական աշխատանք՝ 96 -ա), գ), 97- ա), գ), 98-ա), գ), 99-ա), դ), զ), 100- ա), գ), զ),
Տնային աշխատանք՝ 96-100 մնաց.
21.10.2019թ.
Թեմա-Բազմանդամների գումարը և տարբերությունը
Դասարանական աշխատանք՝ 92 -ա), դ), զ), 93- ա), դ), 94-ա), դ), զ), 95-ա), դ), զ),
Տնային աշխատանք՝ 92-95 մնաց.
16.10.2019թ.
Թեմա-Կատարյալ տեսքի բազմանդամներ
Դասարանական աշխատանք՝ 88-90
Տնային աշխատանք՝ 88-90 մնաց.
14.10.2019թ.
Թեմա-Բազմանդամների հատկությունները
Թեմա-Կատարյալ տեսքի բազմանդամներ
Դասարանական աշխատանք՝ 84, 86-87
Տնային աշխատանք՝ 86-87 մնաց.
09.10.2019թ.
Թեմա-Բազմանդամների հատկությունները
Դասարանական աշխատանք՝ 82-84
Տնային աշխատանք՝ 82-83 մնաց.
07.10.2019թ.
Թեմա-Բազմանդամներ: Բազմանդամի հասկացությունը
Դասարանական աշխատանք՝ 74-78
Տնային աշխատանք՝ 74-78 մնաց.
27.09.2019թ.
Թեմա-Միանդամի կատարյալ տեսքը
Դասարանական աշխատանք՝ 57-ա),գ),ե); 58-ա), ե), ժ), ծ), 59-ա), ե), զ), 54(1)
Տնային աշխատանք՝ 57 մնաց., 58 մնաց., 59 մնաց.,54 մնաց.,
25.09.2019թ.
Թեմա-Միանդամների արտադրյալը, բնական ցուցիչով աստիճան
Դասարանական աշխատանք՝ 49-բ), ե),ը), 50-ա),գ), է),ի),ծ), 51-ա)-դ),52-ա)-գ),53(1),
Տնային աշխատանք՝ 49 մնաց., 50 մնաց.,51 մնաց.,52 մնաց.,53 մնաց.,
23.09.2019թ.
Թեմա-Միանդամների արտադրյալը, բնական ցուցիչով աստիճան
Դասարանական աշխատանք՝ 44-ա)-դ), 45-ա), դ), զ), ժ), 46-ա), ե), զ), ը), 47-ա),դ), ե),48-ա), դ),ե),
Տնային աշխատանք՝ 44-ե)-ը), 45 մնաց., 46 մնաց., 47 մնաց., 48 մնաց.,
20.09.2019թ.
Թեմա-Միանդամների արտադրյալը, բնական ցուցիչով աստիճան
Դասարանական աշխատանք՝ 36-ա),գ),ե); 37-ա), գ), ե), 41-ա), գ), ե); 42-ա),գ);43-ա)-գ)
Տնային աշխատանք՝ 36 մնաց., 37 մնաց., 41 մնաց.,42 -բ), դ), 43 մնաց.,
18.09.2019թ.
Թեմա-Միանդամի հասկացությունը
Դասարանական աշխատանք՝ 34 ա), գ), ե), է), լ); 35-ա), գ), ե),30 ա)
Տնային աշխատանք՝ 34 մնաց., 35 մնաց., 30 բ)
16.09.2019թ.
Թեմա-Տառային արտահայտություններ
Դասարանական աշխատանք՝ 18 ա); 19; 22; 24;
Տնային աշխատանք՝ 18 բ); 20 ; 21; 25
11.09.2019թ.
Թեմա-Տառային արտահայտություններ
Դասարանական աշխատանք՝ 14 ա), գ) , ե) ; 15 -ա), գ), ; 16 -բ), գ); 17 -բ) , դ)
Տնային աշխատանք՝ 14 բ), դ) , զ); 15 -բ), դ), ; 16 -ա), դ); 17 -ա) , գ)
09.09.2019թ.
Թեմա-Թվային արտահայտություններ
Դասարանական աշխատանք՝ 6 ա), գ) , ե), զ) ; 7 -ա) ; 8 -բ); 9 -բ)
Տնային աշխատանք՝ 6 բ), դ) , է), ը), 7 -բ) ; 8 -ա) ; 9 -ա)
06.09.2019թ.
Թեմա-Թվային արտահայտություններ
Դասարանական աշխատանք՝ 2 ա), գ) ; 3 ա) ; 6 ա), գ) , ե), զ)
Տնային աշխատանք՝ 2 բ), դ) ; 3 բ) ; 6 բ), դ) , է), ը)
Արշակ Մարտիրոսյան 