08.05.2023թ

08.05.2023թ-Թեստ

02.05.2023թ-03.05.2023թ

03.05.2023թ-Մարմինների ծավալների հաշվումը

Տեսություն՝

• Ծավալի գաղափարը
• Ուղղանկյունանիստի ծավալը
• Ուղիղ պրիզմայի ծավալը
• Բուրգի ծավալը
• Գլանի ծավալը
• Կոնի ծավալը
• Գնդի ծավալը

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 441; 443; 445; 449; 453; 454

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 442; 444; 446; 450; 452

.

02.05.2023թ-Մարմինների ծավալների հաշվումը

Տեսություն՝

• Ծավալի գաղափարը
• Ուղղանկյունանիստի ծավալը
• Ուղիղ պրիզմայի ծավալը
• Բուրգի ծավալը
• Գլանի ծավալը
• Կոնի ծավալը
• Գնդի ծավալը

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 432; 434; 436; 438

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 433; 435; 437; 439

25.04.2023-26.04.2023թթ

26.04.2023թ-Գլանի,կոնի և գնդի մակերևույթների մակերեսների հաշվումը

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 421-ա,գ; 422; 424; 427-ա; 428

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 421-բ,դ; 423; 425; 426; 429

.

25.04.2023թ-Գլանի,կոնի և գնդի մակերևույթների մակերեսների հաշվումը

Տեսություն՝

Գլան

Գիտենք, որ գլանը առաջանում է ուղղանկյան՝ իր կողմերից մեկի շուրջ պտտումից: 

Պտտելով ներքևի AA₁O₁O ուղղանկյունը իր կողմերից որևէ մեկի, օրինակ՝ OO₁-ի շուրջ, ստանում ենք պատկերված գլանը:

OO1 հատվածը կոչվում է գլանի բարձրություն, AA₁-ը և BB₁-ը՝ ծնորդներ: 

Պտտման ընթացքում առաջացած երկու շրջանները կոչվում են գլանի հիմքեր:

Գլանի բարձրությունով անցնող հարթության և գլանի ընդհանուր մասը կոչվում է գլանի առանցքային հատույթ: Գլանի առանցքային հատույթը ուղղանկյուն է:

 Վերևի նկարում դա AA₁B₁B ուղղանկյունն է:

Գլանի կողմնային մակերևույթի բացվածքը ևս ուղղանկյուն է:

Այդ ուղղանկյան կողմերից մեկը հիմքի շրջանագծի երկարությունն է, իսկ մյուսը՝ գլանի բարձրությունը: Ուրեմն, գլանի կողմնային մակերևույթի (կամ գլանային մակերևույթի) մակերեսը հավասար է՝

S_կողմն=2πRH

Եթե սրան գումարենք երկու հիմքերի մակերեսները, ապա կստանանք գլանի լրիվ մակերևույթի մակերեսը՝

S=S_կողմն+2S_հիմք=2πRH+2πR²

Եթե փակագծերից դուրս բերենք ընդհանուր արտադրիչները, կստանանք՝

S=2πR⋅(H+R)

Կոն 

Գիտենք, որ կոնը կարելի է ստանալ՝ պտտելով ուղղանկյուն եռանկյունը իր էջերից որևէ մեկի շուրջ:

PO հատվածը կոչվում է կոնի բարձրություն:

Կոնի առանցքային հատույթը, որն անցնում է նրա գագաթով, հանդիսանում է PA և PB սրունքներով հավասարասրուն եռանկյուն: PA-ն և PB-ն կոչվում են կոնի ծնորդներ և նշանակվում են l տառով:

Եռանկյան պտույտից առաջացած O կենտրոնով շրջանը կոչվում է կոնի հիմք:

Կոնի շառավիղ կոչվում է նրա հիմքի R=OA=OB շառավիղը:

Կոնի կողմնային մակերևույթի բացվածքը շրջանային սեկտոր է:

Այդ սեկտորի շառավիղը հավասար է կոնի ծնորդին՝ l-ի, իսկ աղեղի երկարությունը հավասար է կոնի հիմքի շրջանագծի երկարությանը՝ 2πR

Ինչպես գիտենք, շրջանային սեկտորի մակերեսը հավասար է նրա շառավղի և աղեղի երկարության արտադրյալի կեսին:

Ստանում ենք՝

2πR⋅l/2=πRl

Այսպիսով, կոնի կողմնային մակերևույթի (կոնային մակերևույթի) մակերեսը հաշվում են S_կողմն=πRl բանաձևով: 

Լրիվ մակերևույթի մակերեսը ստանալու համար պետք է գումարել հիմքի շրջանի մակերեսը՝

S=Sկողմն+S_հիմք=πRl+πR²

Փակագծերից դուրս բերելով ընդհանուր արտադրիչները, ստանում ենք՝

S=πR⋅(l+R)

Գնդային մակերևույթի մակերեսը

 Գունդը ստացվում է կիսաշրջանի կամ շրջանի պտույտի միջոցով՝ իր AB տրամագծի շուրջ:

Գնդի մակերևույթը (գնդային մակերևույթը) կոչվում է գնդոլորտ (սֆերա): 

Գնդոլորտը ստացվում է կիսաշրջանագծի կամ շրջանագծի պտույտի միջոցով:

Գնդոլորտին են պատկանում գնդի բոլոր այն կետերը, որոնց հեռավորությունը գնդի O կենտրոնից հավասար է R շառավղին: 

OA-ն, OB-ն և OC-ն, կամ ցանկացած այլ հատված, որը միացնում է գնդոլորտի կետը գնդի կենտրոնի հետ կոչվում է գնդի շառավիղ:    

Գնդի երկու կետեր միացնող հատվածը, որն անցնում է գնդի կենտրոնով, կոչվում է գնդի տրամագիծ: Վերևի նկարում դա AB հատվածն է:

Կենտրոնով անցնող գնդի հատույթը կոչվում է մեծ շրջան, իսկ գնդոլորտի հատույթը՝ մեծ շրջանագիծ:  

Ի տարբերություն գլանային և կոնային մակերևույթների, գնդային մակերևույթը հնարավոր չէ փռել այնպես, որ ստացվի հարթ պատկեր: Այս հարցին դեռ կանդրադառնանք ավագ դպրոցում:

Այստեղ միայն նշենք, որ R շառավղով գնդային մակերևույթի մակերեսը հաշվում են հետևյալ բանաձևով՝

S=4πR²

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 414-ա,գ; 415; 417; 419

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 414-բ,դ; 416; 418; 420

11.04.2023-19.04.2023թթ

19.04.2023թ-Շրջանագծի երկարությունը և շրջանի մակերեսը

Տեսություն՝

Շրջանագծի երկարությունը

Յուրաքանչյուր շրջանագծի երկարության և նրա տրամագծի հարաբերությունը միևնույն թիվն է բոլոր շրջանագծերի համար:

Այդ թիվն ընդունված է նշանակել հունարեն π («պի») տառով: Այդ թվում ստորակետից հետո կան անվերջ թվով թվանշաններ, որոնց հերթականությունը չի կրկնվում: 

Հիշենք, որ այդպիսի թվերը կոչվում են իռացիոնալ թվեր:

Մեր ժամանակներում, հաշվողական տեխնոլոգիաների զարգացման արդյունքում, հաջողվում է հաշվել բազմաթիվ թվանշաններ՝ ստորակետից հետո: Կախված պահանջվող ճշտությունից, π թիվը կլորացնում են մինչև ամբողջը՝ π≈3

Ամենահաճախը օգտագործվում է π թվի կլորացված արժեքը հարյուրավորների ճշտությամբ՝ π≈3,14:

Հետաքրքիր է, որ մարտի (3-րդ ամիսը) 14-ին աշխարհում ոչ պաշտոնապես նշվում է π թվի օրը և անցկացվում են մաթեմատիկական մրցույթներ ու այլ հետաքրքիր իրադարձություններ:

Շրջանագծի երկարությունը ընդունված է նշանակել C տառով: Հիշենք, որ շրջանագծի տրամագիծը (շառավղի կրկնապատիկը) նշանակում են՝ D=2R

Հետևաբար, շրջանագծի երկարությունը հաշվում են C=π⋅D կամ C=2π⋅R բանաձևերով:

Քանի որ ամբողջ շրջանագծի երկարությունը հավասար է C=2π⋅R, ապա  1° աստիճանի աղեղի երկարությունը կլինի՝ 2πR/360°=πR/180°

Հետևաբար, α աստիճանային չափով ∪AB=l աղեղի երկարությունը կլինի՝ l=πR/180°⋅α

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 391; 393; 395; 398

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 392; 394; 396; 399

.

12.04.2023թ-Բազմանկյունների մակերեսների հաշվման բանաձևեր

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 363; 366; 368;371

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 365; 367; 370; 372

.

11.04.2023թ-Բազմանկյունների մակերեսների հաշվման բանաձևեր

Տեսություն՝

Զուգահեռագծի մակերեսի հաշվման բանաձևը

Թեորեմ: Զուգահեռագծի S մակերեսը հավասար է նրա կից կողմերի և դրանցով կազմված անկյան սինուսի արտադրյալին:

S=ab⋅sinα

Դիտարկենք հետևյալ զուգահեռագիծը, որում տարված է անկյունագիծը:

Զուգահեռագիծը անկյունագծով տրոհվում է երկու հավասար եռանկյունների, որոնցից յուրաքանչյուրի մակերեսը որոշվում է հետևյալ բանաձևով`

S_Δ=1/2ab⋅sinα

Հետևաբար,

S=2S_Δ=2⋅1/2ab⋅sinα=ab⋅sinα

ինչը և պահանջվում էր ապացուցել:

Քառանկյան մակերեսի հաշվման բանաձևը

Թեորեմ: Ուռուցիկ քառանկյան S մակերեսը հավասար է նրա անկյունագծերի և դրանցով կազմված անկյան սինուսի արտադրյալի կեսին:

S=1/2d₁d₂⋅sinα

Դիտարկենք հետևյալ քառանկյունը, որում տարված են անկյունագծեր:

Քառանկյունը անկյունագծերով տրոհվում է չորս եռանկյունների:

Դրանցից յուրաքանչյուրի համար կիրառենք եռանկյան մակերեսի հաշվման բանաձևը՝ 

S=S_BMA+S_AMD+S_DMC+S_CMB=1/2BM⋅AM⋅sinα+1/2AM⋅DM⋅sin(180−α)+1/2DM⋅CM⋅sinα+1/2CM⋅BM⋅sin(180−α)=1/2sinα[AM⋅(BM+DM)+CM(DM+BM)]=1/2sinα[AM⋅BD+CM⋅BD]=1/2BD⋅sinα[AM+CM]=1/2BD⋅AC⋅sinα

Ստացանք պահանջվող բանաձևը:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 350; 352; 354; 356; 358

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 351; 353; 355; 357; 359

10.04.2023թ-21.03.2023թթ

21.04.2023թ-Կարգավորություններ և զուգորդություններ

Տեսանյութ՝

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 434-ա,գ,ե; 435; 436-ա,գ; 438; 440-ա,գ

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝434-բ,դ,զ; 436-բ,դ; 437-բ,դ; 439; 440-բ,դ

.

14.04.2023թ-Տեղափոխություններ

Տեսանյութ՝

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 425-ա,գ; 426; 428-ա,գ; 430-ա,գ; 431-ա,գ; 432-ա

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝425-բ,դ; 427; 428-բ,դ; 430-բ; 431-բ,դ; 432-բ

:

10.04.2023թ-Հավանականությունների տեսություն. Պատահույթի հավանականությունը

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 405-ա,գ,ե; 406-ա,գ; 408-ա,գ; 410-ա,գ; 412-ա,գ

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝405-բ,դ,զ; 406-բ,դ; 408-բ,դ; 410-բ,դ; 412-բ,դ

03.04.2023-07.04.2023թթ

07.04.2023թ-Թեստ

.

05.04.2023թ-Թեստ

.

03.04.2023թ-Անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա

Տեսություն՝

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 398-ա,գ;399-ա,գ,ե,է,թ,ի; 401-ա

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝398-բ,դ; 399-բ,դ,զ,ը,ժ; 401-բ

21.03.2023թ

21.03.2023թ-Առնչություններ եռանկյան կողմերի և անկյունների միջև

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 326; 328; 330; 333;

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 327; 329; 331; 334

20.03.2023թ-24.03.2023թ

24.03.2023թ-Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարը

Տեսություն՝

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 389-ա,գ,ե; 390; 391-ա; 392-ա; 393-ա,գ

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝389-բ,դ,զ; 391-բ; 392-բ; 393-բ,դ

.

22.03.2023թ-Երկրաչափական պրոգրեսիայի գաղափարը

Տեսություն՝

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 378; 380-ա,գ; 381; 383-ա,գ,ե; 384-ա,գ

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝379; 380-բ,դ; 382; 383-բ,դ,զ; 384-բ

.

20.03.2023թ-Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարը

Տեսություն՝

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 364-ա,գ; 365-ա,գ; 366-ա,գ; 367-ա,գ; 371-ա

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝364-բ; 365-բ,դ; 366-բ,դ; 367-բ,դ; 371-բ

15.03.2023թ-17.03.2023թ

17.03.2023թ-Թեստ

.

15.03.2023թ-Թվաբանական պրոգրեսիայի հասկացությունը և նրա հատկությունները

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 352-ա,գ; 354-ա,գ; 356-ա,գ; 359-ա,գ; 360-ա,գ

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝352-բ,դ; 354-բ,դ; 356-բ,դ; 359-բ,դ; 360-բ,դ

14.03.2023-15.03.2023թթ

14.03.2023թ-Առնչություններ եռանկյան կողմերի և անկյունների միջև

Տեսություն՝

Եռանկյան մակերեսը

Թեորեմ. Եռանկյան մակերեսը հավասար է նրա երկու կողմերի և դրանցով կազմված անկյան սինուսի արտադրյալի կեսին:

Դիտարկենք ABC եռանկյունը, որում տարված է BH բարձրությունը:

ABH եռանկյան մեջ sin∡A=BH/AB, որտեղից BH բարձրությունը հավասար է՝ BH=AB⋅sin∡A

Տեղադրենք BH բարձրության ստացած արտահայտությունը ABC եռանկյան մակերեսի հաշվման բանաձևի մեջ՝

S_ABC=1/2AC⋅BH

Ստանում ենք՝

S_ABC=1/2AC⋅AB⋅sin∡A

Թեորեմն ապացուցված է:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 317-ա,գ; 318; 320; 323

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 317-բ; 319; 321; 324