06.03.2023-10.03.2023թթ

10.03.2023թ-Թվային հաջորդականության հասկացությունը

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 324-ա,գ; 325-ա,գ; 328-ա,գ; 329-ա,գ; 330

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝324-բ,դ; 325-բ,դ; 328-բ,դ; 329-բ,դ;

.

06.03.2023թ-Թվային հաջորդականության հասկացությունը

Տեսություն՝

Թվային հաջորդականության սահմանում

Եթե յուրաքանչյուր n∈N բնական թվի որոշակի օրենքով համապատասխանության մեջ է դրվում xn թիվ, ապա ասում են, որ տրված է x₁,x₂,x₃,…,x_n,…թվերի հաջորդականություն կամ {x_n}թվային հաջորդականություն:   

x₁,x₂,x₃,…,x_n,.թվերն անվանում են հաջորդականության անդամներ, իսկ n համարն ունեցող անդամը՝ n-րդ անդամ կամ ընդհանուր անդամ:  

Տալ հաջորդականություն նշանակում է նշել այն օրենքը, որով յուրաքանչյուր n բնական թվի համար կարելի է հաշվել այդ համարի տակ գտնվող անդամը՝  x_n-ը:  

Այդ օրենքը կարող է նկարագրվել տարբեր ձևերով: 

Գոյություն ունի հաջորդականության տրման երեք առավել կարևոր եղանակ՝ անալիտիկ (բանաձևով), բառային նկարագրով և ռեկուրենտ:   

1. Հաջորդականության տրման անալիտիկ եղանակը

Ասում են, որ հաջորդականությունը տրված է անալիտիկ, եթե նշվում է նրա ընդհանուր անդամի x_n-ի բանաձևը:

Օրինակ

ա) x_n=n₂:  Այս հաջորդականության անդամները բոլոր բնական թվերի քառակուսիներն են՝  1,4,9,16,…,n² …

բ) xn=2:  Այս հաջորդականության բոլոր անդամները երկուսներ են՝ 2,2,2,…,2,…,  Այսպիսի հաջորդականությունն անվանում են ստացիոնար:  

գ) xⁿ=1ⁿ:  Այս հաջորդականության անդամները բոլոր բնական թվերի հակադարձ թվերն են՝

 1,1/2,1/3,1/4,…,1/n,…

2. Հաջորդականության բառային նկարագիրը

Օրինակ

ա) Պարզ թվերի հաջորդականությունը՝  2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,…

բ) Տասնորդական կոտորակներ, որոնց ամբողջ մասը 0-ն է, իսկ կոտորակային մասում 1-եր են, որոնց քանակը հավասար է անդամի համարին՝  0.1,0.11,0.111,0.1111,0.11111,…

3. Հաջորդականության տրման ռեկուրենտ եղանակը

Սա հաջորդականության տրման այնպիսի եղանակ է, երբ նշվում է օրենք, որի միջոցով գտնվում է հաջորդականության n-րդ անդամը, եթե հայտնի են բոլոր նախորդ անդամները: 

Այս դեպքում, իմանալով հաջորդականության առաջին անդամը, կարողանում ենք գտնել երկրորդը, իմանալով երկրորդը՝ գտնում ենք երրորդը, և այդպես շարունակ:

Հաջորդականության տրման այս եղանակը կոչվում է ռեկուրենտ (լատիներեն recurrentis՝ անդրադարձ բառից).

x₁=3;x_n=x_n−1+4,  եթե n=2,3,4,…

Հաշվենք այս հաջորդականության անդամները:

x₁=3

x₂=x₁+4=3+4=7

x₃=x₂+4=7+4=11

x₄=x₃+4=11+4=15……………………………………

Այսպիսով, ստանում ենք  3,7,11,15,…  հաջորդականությունը:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 316-ա,գ; 317-ա,գ; 318-ա; 321-ա,գ; 323-ա,գ

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝316-բ,դ; 317-բ,դ; 318-բ; 321-բ; 323-բ,դ

06.03.2023-10.03.2023թթ

09.03.2023թ-ԱՆՀԱՎԱՍԱՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ և ԱՆՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ:Թվային անհավասարությունների հատկությունները:

Տեսություն՝

Միանուն և կրկնակի անհավասարումներ

a>b և c>d կամ  a<b և c<d անհավասարությունները (միևնույն նշանի) կոչվում են միանուն:

a>b և c<d կամ  a<b և c>d անհավասարությունները (հակառակ նշանի) կոչվում են հականուն:

Օրինակ

x>−5 և y>17 անհավասարությունները միանուն են, իսկ x<−5 և y>17 անհավասարությունները՝ հականուն:

Քանի, որ անհավասարումների լուծումները սովորաբար անվերջ թվով են, ապա դրանք դուրս գրել հնարավոր չէ: Լուծումները նկարագրելու համար հաճախ օգտագործում են գծագրեր և նշանակումներ:  

Օրինակ, դա կարելի է անել թվային առանցքի վրա լուծումների միջակայքը պատկերելով և օգտագործելով պատկանելիության ∈ նշանը:

x>a անհավասարման լուծումները պատկերում են այսպես՝		x∈(a;+∞)
x≥a անհավասարման լուծումները պատկերում են այսպես՝		x∈[a;+∞)
x≤a անհավասարման լուծումները պատկերում են այսպես՝		x∈(−∞;a]
x<a անհավասարման լուծումները պատկերում են այսպես՝		x∈(−∞;a)

Եթե միաժամանակ տեղի ունեն երկու պայման՝  x>a (x≥a) և x<b (x≤a), ապա ասում են, որ տրված է կրկնակի անհավասարում և գրում են՝  a<x<b

a<x<b կրկնակի անհավասարմանը բավարարող x թվերի բազմությունը կարելի է պատկերել թվային առանցքի վրա:

Կրկնակի անհավասարումը կարդում ենք մեջտեղից՝ x -ը մեծ է a -ից, բայց փոքր է b -ից:

Օրինակ՝ 47,2<x<47,3 կարդում ենք՝ x -ը մեծ է 47,2 -ից, բայց փոքր է 47,3 -ից:

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 348-ա,գ; 349-ա,ե; 350-ա,ե; 359-ա,գ,ե; 362-ա,գ; 363-ա

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝348-բ,դ; 349-բ,դ; 350-բ,դ; 359-բ,դ,զ; 362-բ,դ,զ; 363-բ

.

06.03.2023թ-Իրական թվերի համեմատումը և դրանց հետ կատարվող թվաբանական գործողությունները

Տեսություն՝

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 311-ա,գ; 321-ա,գ,ե; 323-ա; 334-ա,գ,ե; 342-ա,գ

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝311-բ,դ; 321-բ,դ; 323-բ; 334-բ,դ,զ; 336-ա,գ,ե; 342-բ,դ

06.03.2023-10.03.2023թթ

10.03.2023թ-Մեկ անհայտով հավասարումներ

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 925-ա,գ,ե;  926-ա,գ,ե; 935-ա; 936-ա,գ

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝925-բ,դ,զ; 926-բ,դ,զ; 935-բ; 936-բ,դ

.

07.03.2023թ-Մեկ անհայտով հավասարումներ

Տեսություն՝

Մեկ անհայտով հավասարման լուծումը

Այն հավասարությունը, որում տառով նշանակված է մի անհայտ թիվ, կոչվում է մեկ անհայտով հավասարում:

Լուծել հավասարումը նշանակում է գտնել այն թիվը, որը տառի փոխարեն տեղադրելով՝ կստանանք ճիշտ հավասարություն:

Այդ թիվը կոչվում է հավասարման լուծում կամ արմատ:

Հավասարումները լուծելիս օգտագործում ենք հետևյալ հատկությունները:

1) Եթե հավասարության երկու մասերին գումարել կամ նրանցից հանել նույն թիվը, հավասարությունը չի փոխվի:  

2) Եթե հավասարության երկու մասերը բազմապատկենք նույն թվով կամ բաժանենք նույն, զրոյից տարբեր թվի վրա, հավասարությունը չի փոխվի: 

Օրինակ

Լուծենք x−12=6 հավասարումը:

Հավասարման երկու մասերին գումարենք 12: Ստանում ենք՝

x−12+12=6+12x=18

Օրինակ

Լուծենք 4x+3=0 հավասարումը:

Հավասարման երկու մասերից հանենք 3: Ստանում ենք՝

4x+3−3=−3

4x=−3

Հիմա հավասարման երկու մասերիը բաժանենք 4-ի: Ստանում ենք՝

4x/4=−3/4

x=−3/4

Ձևակերպենք հավասարում լուծելու կանոնը:

1) Եթե կան փակագծեր, ապա պարզեցնում ենք հավասարումը՝ բացելով փակագծերը:

2) Հավասարման անհայտը պարունակող անդամները տեղափոխում ենք ձախ մաս, իսկ մնացած անդամները՝ աջ մաս:

3) Հավասարման աջ և ձախ մասերում կատարում ենք թվաբանական գործողություններ և լուծում ստացված պարզագույն հավասարումը:

Օրինակ

Լուծենք 2⋅(x+3)=−4−3x հավասարումը:

Բացենք փակագծերը՝ 2x+6=−4−3x

Անհայտները տեղափոխենք ձախ մաս, մնացածը՝ աջ՝ 2x+3x=−4−6

Կատարենք գործողությունները և լուծենք ստացված հավասարումը՝

5x=−10

x=−2

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 921-ա,գ,ե;  922-ա,գ,ե; 923; 930; 934

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝921-բ,դ,զ; 922-բ,դ,զ; 924; 932; 933

.

06.03.2023թ-Ուղղանկյան մակերեսը և նրա ծավալը

Դասարանական առաջադրանքներ՝ 898; 899-ա,գ; 901; 903; 907; 912

Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝899-բ; 900; 902; 909; 910; 913